Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в Україні (стр. 9 из 38)

або Аγ = 0, де А-матрица розміру (К- 1)×2K рангу K-1. Використовуючи загальну теорію регресії з q = K-1, n = N і р = 2К, одержуємо, що статистика критерія для перевірки гіпотези H₁, має вигляд

(1.4.2)

Для знаходження RSS необхідно мінімізувати

S = ε'ε =

.

Продиференціюємо S по α_k та β_k

З перших K рівнянь системи знаходимо, що

Підставляємо α_k в (1.4.4)

(1.4.5)

Тоді

Підставляємо оцінки в S. Знаходимо

RSS =

(1.4.6)

Для знаходження

мінімізуємо суму S = відносно α і β. Продиференціюємо S по α_k та β

(k = 1, 2, …, K)

З перших K рівнянь системи знаходимо

Підставляємо знайдені α_k в друге рівняння системи

Тоді

Підставляючи оцінки

в S, знаходимо

Отже, гіпотезу H₁: β₁ = β₂ = . . . = β_K = β відхиляємо при

і не відхиляємо в супротивному разі. Рівень значущості критерію α.

Критерій збігу прямих

Для вирішення питання про збіг всіх K ліній регресії розглянемо гіпотезу H₂: α₁ = α₂ = ... = α_K і β₁ = β₁ = ... = β_K, або, що те ж саме, H₂: α₁- α_K = = α₂ - α_K = ... = α_K-1 - α_K = 0 і β₁ - β_K = ... = β_K-1 - β_K = 0.

В матричній формі гіпотеза H₂ приймає вигляд:Aγ = 0, зокрема

Матриця А має розмір (2K-2) рядків, 2K стовпців (ранг 2М – 2).

F – статистика для перевірки гіпотези H₂ має вигляд

(1.4.7)

Знайдемо RSS_H2. Для знаходження RSS_H2 необхідно мінімізувати суму

по α і β, одержуємо

Із першого рівняння знаходимо

Підставляючи α в перше рівняння системи одержуємо β

Тоді

Отже,

Отже, гіпотезу H₂:α₁ = α₂ = ... = α_K і β₁ = β₁ = ... = β_K відхиляємо при

> F_{α,(2K-2),(N-2K)}

і не відхиляємо в супротивному разі. Рівень значущості критерію α.

На практиці спочатку застосовують критерій паралельності прямих, а потім вже, якщо гіпотеза Н₁ не відхиляється, перевіряють гіпотезу H₂ (вважаючи, що гіпотеза H₁ справелива), використовуючи статистику

.

РОЗДІЛ 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАХВОРЮВАНОСТІ НА ТУБЕРКУЛЬОЗ, РАК, СНІД, ГЕПАТИТ А, ГЕПАТИТ Б

2.1 Дослідження захворюваності на туберкульоз (всі форми), туберкульоз легенів

Необхідно перевірити гіпотезу про наявність лінійної залежності між y- захворюваністю на туберкульоз на 100 000 населення та х – роком проведення спостереження, оцінити невідомі параметри

лінійної одновимірної регресії , побудувати довірчі інтервали для параметрів .

Захворюваність на туберкульоз в кожній з 24 областей, А.Р.Крим, м.Київ та м. Севастополі, а також в Україні в цілому розглядається окремо.

Для кожної області дослідження залежності захворюваності на туберкульоз від року спостереження проводиться так:

1) знаходяться МНК- оцінки

коефіцієнтів регресії ;

2) перевіряється гіпотеза H₀:

про значущість вільного члена регресії за допомогою t – критерію;

3) перевіряється гіпотеза H₀:

про значущість коефіцієнта при незалежній змінній x за допомогою F- критерію та t- критерію;

4) перевіряється гіпотеза H₀:

про значущість коефіцієнта кореляції за допомогою t- критерію;

5) будується довірчий інтервал для

з коефіцієнтом довіри 0,95;

6) будується довірчий інтервал для

з коефіцієнтом довіри 0,95;

7) будується довірчий інтервал для

з коефіцієнтом довіри 0,95.

А. Р. Крим

Рис.2.1.1 Захворюваність на туберкульоз на 100000 населення в А.Р. Крим (всі форми)

Лінійна регресія

4,2862х – 8512,2 значуща.

F = 124,76 >

= 4,6; t₁ = 11,17 > = 2,145, гіпотеза H₀:b₁ = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

t₀ = |-11,105| >

= 2,145 – гіпотеза H₀:b₀ = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

t_R = 11,17 >

= 2,145 – гіпотеза H₀:R = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

Вінницька область

Рис. 2.1.2 Захворюваність на туберкульоз на 100000 населення в Вінницькій області, (всі форми)

Лінійна регресія

2,5399х – 5024 значуща.

F = 82,203 >

= 4,6, t₁ = 9,07 > = 2,145, гіпотеза H₀:b₁ = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

t₀ = |-8,978| >

= 2,145 – гіпотеза H₀:b₀ = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

t_R = 9,07 >

= 2,145 – гіпотеза H₀:R = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.

Волинська область

Рис. 2.1.3 Захворюваність на туберкульоз на 100000 населення в Волинській області, (всі форми)

Лінійна регресія

2,396х – 4735,2 значуща.

F = 129,62 >

= 4,6, t₁ = 11,385 > = 2,145, гіпотеза H₀:b₁ = 0 відхиляється на рівні значущості α = 0,05.