Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в Україні (стр. 7 из 38)

Останнє підставляємо в (1.1.21)

= + (X'X)^-1A'(A(X'X)^-1A')^-1(c - A )

мінімізує ε'ε при обмеженнях Aβ = c.

1.2 F-критерій

Розглянемо лінійну модель Y =Хβ + ε, в якій матриця X має розмір n

р і ранг р, ε ~ N_n(0, σ²I_n). Нехай ми хочемо перевірити гіпотезу H: Аβ = c, де А - відома (q p) - матриця рангу q, а с - відомий (q 1) - вектор. Позначимо

RSS = (Y –X

)'(Y-X ) = (n – p)S²

RSS_H = (Y –X

_H)'(Y-X _H)

Де

_H = + (Х'Х)^-1А'[А(Х'Х)^-1А']^-1(с-А ), (1.2.1)

і RSS_H - мінімальне значення ε'ε при обмеженнях Аβ = с.

Теорема 1.2.1.

(I) RSS_H - RSS = (А

- c)' [А (Х'Х)^-1 А']^-1 (А - c),

(II) М [RSS_H - RSS] = σ²q + (Аβ -с)' [А(Х'Х)^-1А']^-1(Аβ - с).

(III) Якщо гіпотеза Н: Аβ = с справедлива, то статистика

F =

має розподіл Фішера F_q,n-p (F-розподіл з q і n - p ступенями вільності відповідно).

(IV) Якщо с = 0, то статистика F приймає вигляд

F =

,

де Р_H - симетрична і ідемпотентна матриця і Р_НP = PР_Н = Р_Н

Доведення.

(I) Спочатку доведемо тотожність:

||Y - X

_H||² = ||Y - X ||² + ||X( - _H)||²

Розглянемо

||X(

- )||² = (X( - β))'X( - β) = ( - β)'X'X ( - β) = ( - _H + _H - β)'X'X ( - _H + _H - β) =

= (

- _H)'X'X ( - _H) + ( _H - β)'X'X ( _H - β) =

= 2

((X'X)^-1A' )'X'X( _H - β) = A(X'X)^-1 X'X( _H - β) = A( _H - β) = (A _H - Aβ) = (c – c) = 0 = (X( - _H))'X( - _H) + (X( _H - β))'X( _H - β) = ||X( - _H)||² + ||X( _H- β)||².

Далі,

ε'ε = (Y – Xβ)'(Y – Xβ) = ||Y – Xβ||² = (Y - X

)'(Y - X ) +

+ (

- β)'X'X( - β) = ||Y - X ||² + ||X( - β)||²

Підставляємо

||X(

- β)||²:

ε'ε = ||Y - X

||² + ||X( - _H)||² + ||X( - β)||²

ε'ε досягає мінімального значення при ||X(

- β)||² = 0, тобто

X(

- β) = 0

β =

, Х ≠ 0 (оскільки стовпці Х лінійно незалежні)

Покладаючи в ε'ε β =

, знаходимо

||Y - X

_H||² = ||Y - X ||² + ||X( - _H)||²

Тоді

RSS_H – RSS = (Y - X

_H)'(Y - X _H) – (Y - X )'(Y - X ) =

= ||Y - X

_H||² - ||Y - X ||² = ||X( - _H)||² = (X( - _H))'(X( - _H)) =