Численные методы вычисления интегралов (стр. 1 из 3)
Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса
1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи
Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций
. Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.Прежде всего, рассмотрим случай, когда
- конечный интервал.В таком случае, как известно, функция
является ограниченной, т.е. 
. В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от 
заменяется некоторой линейной комбинацией значений 
в 
точках 
: 
(1)
Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты
- квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы 
- узлами квадратурной формулы.Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения
были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.2. Методы Ньютона-Котеса
Пусть
различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию 
функции 
. Тогда имеем: 
(2)
где
- остаточный член. Предположим, что 
(3)
причём
подобраны так, чтобы все интегралы 
(4)
можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу
(5)
2.1 Формула трапеций
 |
Рис. 1.
а) графический вывод:
Определённый интеграл
, как известно, задаёт площадь 
криволинейной трапеции 
, поэтому, вписав ломаную в дугу кривой 
, мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций: 
(6)
Между тем, очевидно, что
(7)
Так как, в методах Ньютона-Котеса,
, учитывая (6) получаем:
(8)или, соединяя подобные члены, имеем:
(9)Формула (9) – называется формулой трапеций.
б) Аналитический вывод:
Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка
, построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения 
. Ясно, что в таком случае интерполирующая функция 
имеет вид: 
(10)т.к. в методе Ньютона-Котеса
, учитывая (3) и (4), из (10) получаем: 
(11)Аналогично,
, т.е.
(12)Таким образом, получаем формулу:
(13)тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:
(14)где
. Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).2.2 Формула Симпсона
Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е.
), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале 
, необходимо знание значения функции 
в трёх точках (т.к. 
имеет 3 неизвестных параметра – коэффициенты 
). В качестве третьей точки на каждом отрезке 
- выбирается середина этого отрезка, т.е. точка 
.Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции
, на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения 
. Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции: 
(15)Интегрируя (15) на отрезке
будем иметь формулу: 
(16)используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
(17)где
является четным числом ( - число делений отрезка 
,т.е. число равных отрезков разбиения).Формула (17)-называется формулой Симпсона.
Приняв обозначения
, получаем привычный вид квадратурных формул:а) Формула трапеций:
(18)б) Формула парабол (Симпсона) (при
) 
(19)2.3 Метод Ромберга
Пусть промежуток интегрирования разбит на
равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение 
. Значение - совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция 
линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле: