Частотно-временной анализ сигналов (стр. 2 из 3)
а центральная частота m-го вейвлета:
.Базисом для DWT является функция, полученная из
(
)при
: 
.Если справедливо
и если 
достаточно быстро затухает, то любая функция из L2 может быть представлена в виде дискретной по 
последовательности 
(3.5.2.)Для восстановления f(t) по дискретным значениям (3.5.2.) на базис
(t) налагаются дополнительные ограничения, а именно, образ Фурье вейвлета (t) должен удовлетворять соотношению 
, (3.5.3)где константы А и В такие, что
. Условие (3.5.3.) в терминах радиотехники имеет довольно прозрачное толкование. Действительно, так как при каждом значении масштаба 
вейвлет представляет собой полосовой фильтр, то набор (сумма) этих фильтров (блок фильтров) является некоторым устройством с неравномерной частотной характеристикой, определяемой константами A и B (рис. 3.12). Сигнал, например звуковой, на выходе такого устройства при сильной неравномерности частотной характеристики претерпевает существенные искажения. Поэтому для его восстановления принимают специальные меры, в частности, устанавливают фильтр, компенсирующий искажения частотной характеристики. В вейвлет-преобразовании таким фильтром является дуальный (или двойственный) вейвлет 
, Фурье-образ которого имеет вид: 
. (3.5.4.). 
Покажем, что с помощью такого вейвлета по коэффициентам DWT полностью восстанавливается сигнал. Действительно, используя соотношение Парсеваля
(
)и формулу получим (3.5.4.):
Из (3.5.4.) и (3.5.3.) можно показать, что
4.2 Дискретизация масштаба и сдвига. Фреймы
В этом случае полагают дискретными величины a и b, т.е.
Частотное окно для анализа сохраняется прежним. Ширина временного окна 
равна
, а среднее значение 
изменяется дискретно пропорционально m -ой степени a0 - масштабу вейвлета. Чем уже функция ψ, т.е. меньше величина 
, тем меньше (на ту же величину) шаг сдвига этой функции. Базисными функциями для дискретного вейвлет-преобразования будут функции, получаемые из 
,при 
и 
Коэффициенты разложения любой функции из L2 могут быть получены как
Выражение (3.5.6) является дискретным вейвлет-преобразованием функции
. Чтобы обратное преобразование во временную область было справедливым, должно выполняться следующее условие: 
для всех
если константы A и B такие, что 
В этом случае формула для восстановления функции f(t) по коэффициентам 
будет иметь вид 
(3.5.8)где ошибку восстановления R можно оценить как
Разделив все члены неравенства (3.5.7) на 
, можно видеть, что константы A и B являются границами нормированной на 
энергии – скалярного произведения 
. Они (эти константы) как бы "обрамляют" нормированную энергию коэффициентов 
Отсюда произошел термин фрейм (frame), которым называют множество функций 
при которых условие (3.5.7) выполняется. Если A= B , то 
и множество 
называют плотным фреймом. При этом выражение 
вытекающее из (3.5.7), является обобщением теоремы Парсеваля на плотные фреймы. Для плотных фреймов из (3.5.8) получаем 
Если A=B=1, то плотный фрейм становится ортогональным базисом. Заметим, что для вейвлетов, образованных материнским вейвлетом (3.3.6), хорошие результаты при восстановлении сигналов получаются при
так как 
. Для больших величин, например 
будет 
т.е. восстановление приводит к большим искажениям.4.3 Примеры вейвлетов для дискретного преобразования
Как было отмечено выше, функции вейвлет обладают свойством частотно-временной локализации, т.е. они ограничены как в частотной, так и во временной областях. Ниже рассмотрим два примера: первый – спектр вейвлетов в частотной области представляет собой идеальный полосовой фильтр, второй – сами функции вейвлет представляют собой прямоугольники. Все вейвлеты, с точки зрения частотно-временных свойств, занимают промежуточное положение между этими крайними случаями.
Sinc-базис. Разобьем ось частот на интервалы (поддиапазоны), как показано на рис. 3.13 при a0 = 2. Такое разбиение называют логарифмическим, так как отношение верхней и нижней границ диапазонов постоянно и равно 2. Такое разбиение является еще и идеальным, так как оно реализуется идеальными полосовыми фильтрами. Подобная идеализация нужна для исследования свойств частотного разложения с помощью идеализированных вейвлетов, что позволит в дальнейшем перейти к более сложным разложениям. Любой сигнал
со спектром 
может занимать полосу частот, охватывающую несколько таких поддиапазонов. 
Тогда
и 
т.е. сигнал представляет собой сумму некоторого числа элементарных сигналов. В рассматриваемом идеальном случае частотные каналы не перекрываются, поэтому имеет место ортогональность этих элементарных сигналов, т.е. 
Выберем из всего множества сигналов такие, которые ограничены полосой частот 2I, т.е. имеющие спектр
. Рассмотрим периодическую функцию 
такую, что: 
, т.е. полученную периодизацией F1(ω) (рис. 3.14)