Упругопластическая деформация трубы (стр. 5 из 6)
Труба осесимметрическая, следовательно компоненты и напряжения, и перемещения от
не зависят:
, 
,
, 
.Условие пластичности (2.2.19) в начальном состоянии имеет вид:
. (2.3.2)Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:
.Получили дифференциальное уравнение:
.Решим:
Из граничных условий (2.2.21) имеем
.Тогда
(2.3.3)Определим компоненты перемещений.
Из формул Коши (2.2.18) следует:
При
из граничных условий (2.2.21) следует 
Упругость
Найдем компоненты деформации в упругой области
.Из закона Гука (2.2.20) вытекает
(2.3.4)Формулы Коши (2.2.18) примут вид:
Из уравнений равновесий (2.2.17):
Решим:
Из граничных условий (2.2.21)
при 
Тогда
(2.3.5)Радиус пластической зоны
При
и 
(2.3.6)Получили неявное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны
. 
Возмущенное состояниеПластичность
Решение будем искать в виде:
где 
(2.3.7)Из условия пластичности (2.3.7) следует:
. 
. 
.Формулы (2.2.23) примут вид:
(2.3.8)Из условия пластичности (2.2.19) и формул (2.3.8) получим:
. 
Функцию
будем искать в виде: 
.Подставим
Пусть
Тогда
Следовательно
Или
.Тогда функция
примет вид: 
. (2.3.9)Найдем частные производные по
и по 
.
По формулам (2.3.8) при подстановке имеем:
Из этих соотношений найдём
Составим систему уравнений и решим её.
Введём обозначения:
(2.3.11)Упругость
Закон Гука:
(2.3.12)Формулы Коши:
(2.3.13)Уравнения равновесия:
(2.3.14)Условие несжимаемости:
(2.3.15)Закон Гука можно переписать в виде:
Сложим уравнения системы:
(2.3.12)можно записать так:
(2.3.16)Условие несжимаемости (2.3.15) в силу (2.3.13) примет вид:
Положим
Тогда (2.3.16) запишется в виде:
(2.3.17)Подставим (2.3.17) в (2.3.14):
Первое выражение продифференцируем по
, второе - по 
, вычтем из первого выражения второе и разделим на 
. Тогда 
Умножим на 
. 
Функцию
будем искать в виде:
Подставим в (2.3.18) и разделим на
. 