Упругопластическая деформация трубы (стр. 3 из 6)

,

где

- предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждого материала).

В общем случае плоского или объемного напряженных состояний экспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечного множества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условие пластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическим путем с последующей экспериментальной проверкой.

Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теории пластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие – условие пластичности Треска - Сен-Венана – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения, равного пределу текучести при чистом сдвиге:

. (1.5.2)

Максимальные касательные напряжения определяются формулой

: . (1.5.3)

Подставляя сюда главные напряжения при линейном напряженном состоянии (1.5.1), в момент появления пластических деформаций получаем

. (1.5.4)

Сравнивая формулы (1.5.2) и (1.5.4) заключаем, что

. (1.5.5)

После подстановки выражений ( 1.5.3 ) и ( 1.5.5 ) в формулу ( 1.5.1 ) приходим к условию пластичности Треска-Сен-Венана в таком виде:

. (1.5.6)

Второе условие – условие пластичности Мизеса-Генки – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного для некоторого материала значения:

. (1.5.7)

Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении. Подставляя в формулу

(1.5.8)

главные напряжения (1.5.1), найдем значение интенсивности касательных напряжений при растяжении в момент появления пластических деформаций:

. (1.5.9)

Сравнивая формулы (1.5.9) и (1.5.7), заключаем, что постоянная

. (1.5.10)

Подставляя выражения (1.5.8) и (1.5.10) в формулу (1.5.7), приходим к условию пластичности Губера-Мизеса-Генки в такой форме:

(1.5.11)

Или

.

Оба рассмотренных условия пластичности дают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера-Мизеса-Генки. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, так как выражение

через шесть составляющих напряжений очень громоздко, а выражается через эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чаще используется условие пластичности Губера-Мизеса-Генки.

Ассоциированный закон

Пластические деформации возникают при активном нагружении материала и не возникают при нейтральном нагружении и разгрузке.

Соотношения связи

в теории пластичности формулируется обычно на основе принципа максимума Мизеса: при фиксированных параметрах для любого данного значения компонент приращений пластической деформации имеет место неравенство

, (1.5.12)

где

- действительные компоненты напряжения, а - компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения:

.

Из принципа максимума Мизеса следует ассоциированный закон течения – закон направленности приращения пластической деформации (или скорости пластической деформации) по градиенту к поверхности нагружения.

В самом деле, предположим, что приращение пластической деформации

не зависит от приращения напряжений.

Рассмотрим рис. 1.7. Согласно (1.5.12) угол между векторами

и должен быть не тупым. В силу произвольности вектора , не выходящего за поверхность нагружения , неравенство (1.5.12) может быть выполнено только в случае ортогональности к , откуда имеем

или

, , . (1.5.13)

Выражение (1.5.13) определяет ассоциированный закон пластического течения.

ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ

2.1 Механическая постановка задачи

Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов

, находящейся под действием внутреннего давления

, в случае плоской деформации.

Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина

, характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

- компоненты напряжений,

- компоненты деформаций,

- радиальное и тангенциальное перемещения,

- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

- полярный радиус,

- полярный угол,

- полярный радиус границы пластической зоны,

- модуль сдвига.

Индекс

указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс - к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести

, величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу .

Обозначим:

- внешний радиус;

2.2 Математическая постановка задачи

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра

. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра

, , ,

, , ,