Трансформация преобразований (стр. 7 из 8)
14.3. Трансформация сдвига движением
Сдвигом называется аффинное преобразование плоскости, при котором произвольная точка А смещается параллельно фиксированной прямой q на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q (рис. 11).
- коэффициент сдвига. [3] 
Рассмотрим произвольное движение f и сдвиг g с осью q и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация сдвига произвольным движением – 
, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 12).Точка А при произвольном движении f -1 перейдет в точку А1, которая при сдвиге перейдет в точку А2 такую, что А1А2 ||q,
. Точка А2 при движении f перейдет в точку А3. Заметим, что прямая q1 = = f(q) – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых); АА3 – образ отрезка А1А2 при движении f, значит, АА3 = А1А2, d(A1, q) = d(A, q1) и АА3 ||q, тогда 
. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью f(q) и коэффициентом k.15. Трансформация аффинного преобразования подобием
15.1. Трансформация косого сжатия подобием
Рассмотрим косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом m и подобие
, где f – движение, найдем трансформацию gh. 
. В силу ассоциативности композиции преобразований, 
. По доказанному в п. 13.2, 
есть g1 - косое сжатие с осью 
, направлением l и коэффициентом m. Тогда 
По доказанному в пункте 14.2, g1 f есть косое сжатие с осью f(q1), направлением f(l) и коэффициентом m. Таким образом, вся искомая трансформация представляет собой косое сжатие с осью 
, направлением f(l) и коэффициентом m.15.2. Трансформация сдвига подобием
Рассмотрим сдвиг g с осью q и коэффициентом m и подобие
, где f – движение, найдем трансформацию gh. 
. В силу ассоциативности композиции преобразований, 
. По доказанному в п. 13.3, 
есть g1 - сдвиг с осью 
и коэффициентом m. Тогда По доказанному в пункте 14.3, g1 f есть косое сжатие с осью f(q1) и коэффициентом m. Таким образом, вся искомая трансформация представляет собой косое сжатие с осью и коэффициентом m.16. Трансформация аффинного преобразования аффинным преобразованием
16.1. Трансформация косого сжатия произвольным аффинным преобразованием
Рассмотрим произвольное аффинное преобразование и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия g произвольным аффинным преобразованием f – 
, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 13).Точка А при аффинном преобразовании f -1 перейдет в точку А1, которая при косом сжатии g перейдет в точку А2 такую, что А1А2 ||l,
. Далее точка А2 при аффинном преобразовании f перейдет в точку А3. Заметим, что прямая q1 = f(q) – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А1 и А2 проведем перпендикуляры на прямую q – А1В1 и А2В2, а из точек А и А3 – на прямую q1 – АВ и А3В3. Пусть АС и А3С3 – образы отрезков А1В1 и А2В2 при аффинном преобразовании f, значит, А1В1||А2В2и 
(т.к. при косом сжатии сохраняется параллельность прямых и отношение параллельных отрезков), тогда 
(соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, прямоугольные треугольники АВС и А3В3С3 подобны, исходя из этого 
. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q1 изменилось в k раз: 
. Причем из того, что А1А2 || l, следует, что AA3||f(l), потому что при косом сжатии сохраняется параллельность прямых, значит, точка А сместилась в направлении f(l). Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью f(q), направлением f(l) и коэффициентом k.17. Решение задач с помощью трансформации преобразований
Задача 1. Даны правильные одинаково ориентированные треугольники OAB, OCD, OEF. Доказать, что середины M, N, P соответственно отрезков BC, DE, AF являются вершинами правильного треугольника. [1]Решение. Из четырехугольника BEDC находим:
(рис. 14). Помня, что результат поворота вектора не зависит от центра поворота, выполним поворот этих векторов на -60°: 
, 
, 
. На основании (6) образом вектора 
будет вектор 
. Отсюда и следует, что треугольник MNP правильный.Задача 2. Найти все перемещения плоскости, перестановочные с осевой симметрией Sl. [«Математика в школе», 1977, №1, задача 1802]
Решение. Из определения (1) следует, что
. Если f = Sl, то на основании зависимости (3) имеем: 
. Задача требует найти такие перемещения g, чтобы 
. А для этого необходимо и достаточно того, чтобы Sl = Sg(l), откуда l = g(l). Перемещениями, отображающими прямую l на себя, являются: осевая симметрия с осью l, осевые симметрии, оси которых перпендикулярны прямой l, центральные симметрии с центрами на l, переносы параллельно l, переносные симметрии с осью l, тождественные перемещения и только эти преобразования.