Трансформация преобразований (стр. 6 из 8)
(36)Мы получили, что
, (37)где 
(- aa1 - bb1 - cc1 + d1 + a, - aa2 - bb2 - cc2 + d2 + b, - aa3 - bb3 - cc3 + d3 + c).
14.1.2. Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией
Рассмотрим центральную симметрию ZO в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы центр симметрии О совпал с началом координат, тогда О(0, 0, 0). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании
. Т.к. центральная симметрия инволютивна, то 
. При центральной симметрии ZO точка М переходит в точку М1(-x, -y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(-a1x - b1y - c1z + d1, -a2x - b2y - c2z + d2, -a3x - b3y - c3z + d3) (п. 13). M2 при центральной симметрии ZO переходит в М3(a1x + b1y + c1z - d1, a2x + b2y + c2z - d2, a3x + b3y + c3z - d3). Тогда 
- аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(38)Мы получили, что
, (39)где 
(-2d1, -2d2, -2d3).
14.1.3. Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией
Рассмотрим осевую симметрию Sl в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы ось симметрии l совпала с осью OZ, тогда Sl будет задаваться следующим образом.
Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании 
. Т.к. осевая симметрия инволютивна, то 
. При осевой симметрии Sl точка М переходит в точку М1(-x, -y, z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(-a1x - b1y + c1z + d1, -a2x - b2y + c2z + d2, -a3x - b3y + c3z + d3) (п. 13). M2 при осевой симметрии Sl переходит в М3(a1x + b1y - c1z - d1, a2x + b2y - c2z - d2, a3x + b3y - c3z - d3). Тогда 
- аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(40)14.1.4. Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией
Рассмотрим зеркальную симметрию Sα – преобразование постраноства, выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость симметрии α совпала с плоскостью XOY, тогда Sα будет задаваться следующим образом.
Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании 
. Т.к. зеркальная симметрия инволютивна, то 
. При зеркальной симметрии Sα точка М переходит в точку М1(x, y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(a1x + b1y - c1z + d1, a2x + b2y - c2z + d2, a3x + b3y - c3z + d3) (п. 13). M2 при зеркальной симметрии Sα переходит в М3(a1x + b1y - c1z + d1, a2x + b2y - c2z + d2, -a3x - b3y + c3z - d3). Тогда 
- аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(41)14.2. Трансформация косого сжатия движением
Косое сжатие – частный случай родства, при котором каждая точка А плоскости смещается в некотором фиксированном направлении так, что ее расстояние от некоторой фиксированной прямой q изменяется в k раз: 
(рис. 9). [3]Рассмотрим произвольное движение f и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия произвольным движением –
, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 10).Точка А при произвольном движении f -1 перейдет в точку А1, которая при косом сжатии перейдет в точку А2 такую, что А1А2 || l,
. Точка А2 при движении f перейдет в точку А3. Заметим, что прямая q1 = f(q) – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А1 и А2 проведем перпендикуляры на прямую q – А1В1 и А2В2, а из точек А и А3 – на прямую q1 – АВ и А3В3. Тогда АВ и А3В3 – образы отрезков А1В1 и А2В2 при движении f, значит, АВ = А1В1 и А3В3 = А2В2 , следовательно, 
. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q1 изменилось в k раз: 
. Причем из того, что А1А2 || l, следует, что AA3 || f(l), потому что при движении сохраняется параллельность прямых, значит, точка А сместилась в направлении f(l). Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью f(q), направлением f(l) и коэффициентом k. 