Трансформация преобразований (стр. 3 из 8)
Докажем теперь, что данное преобразование будет гомотетией с центром в т. М и коэффициентом lk. Возьмем произвольную точку Е, пусть
, а 
. Докажем, что 
(рис. 2). Разложим векторы 
и 
по векторам 
и 
. По правилу треугольника, 
, а 
. Ранее мы выразили вектор 
через вектор 
: 
, тогда вектор 
выражается через вектор 
следующим образом: 
. Вектор 
при гомотетии 
переходит в вектор 
, тогда 
. Значит, 
. Теперь приведем подобные слагаемые и разложим вектор по векторам 
и , после этого получим 
. Вектор 
при гомотетии 
переходит в вектор , значит, 
, а вектор вновь выразим через 
, тогда 
. Приведем подобные слагаемые, получим 
. По правилу треугольника 
, следовательно 
. Таким образом, мы показали, что преобразование 
произвольную точку E переводит в точку G такую, что 
, следовательно, это преобразование – гомотетия с центром в точке М и коэффициентом lk.
. (23)Сейчас найдем преобразование 
. 
, а это по формуле (23) равняется
, 
. Далее применяя формулу (23), получаем 
, 
. Выразим вектор 
через вектор 
. По правилу треугольника, 
. Мы уже знаем, что 
, тогда 
. Приведем подобные слагаемые, получим 
. Так как , то 
. Значит, 
. Таким образом,
. (24)5. Трансформация движения гомотетией
5.1. Трансформация осевой симметрии гомотетией
Рассмотрим
. По теореме о неподвижных точках, прямая 
– неподвижная прямая преобразования , значит, это осевая симметрия с осью m.
. (25)5.2. Трансформация параллельного переноса гомотетией
, но 
, 
. [1] Тогда 
, что по формуле (22) равняется 
. Следовательно,
. (26)5.3. Трансформация произвольного движения гомотетией
Рассмотрим
. По теореме о неподвижных точках, неподвижными точками преобразования являются образы неподвижных точек движения f. Докажем, что это – движение. 
. Рассмотрим точки А и L, |AL| = d. Пусть при гомотетии 
они переходят соответственно в точки В и М, тогда |BM| = d/k. При движении f точки В и М переходят соответственно в точки С и N, тогда |CN| = d/k, т.к. движение сохраняет расстояния между точками. Пусть при гомотетии 
точки С и N переходят соответственно в точки D и P, |DP| = kd/k = d. Мы получили, что преобразование сохраняет расстояния между точками, значит, это движение, неподвижными точками которого являются образы неподвижных точек движения f, а т.к. вид движения определяется его неподвижными точками, то - движение того же вида, что и f.6. Трансформация подобия гомотетией
Рассмотрим
, где f – подобие. Известно, что подобие – это композиция движения и гомотетии, тогда 
, а это, по формулам (2), равняется 
. Как было доказано в 5.3, 
- движение того же вида, что и g, а по формуле (24) 
. Следовательно, 
- подобие того же вида, что и f. Если f 
, то
. (27)7. Трансформация движения подобием
Пусть подобие – это композиция движения g и гомотетии
, то движение f под подобием – это 
. В силу ассоциативности композиции преобразований, 
. По доказанному в п. 5.3 = f1 - движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при гомотетии 
. Тогда 
. Но f1g = f2 – движение того же вида, что и f1, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f1 при движении g. Тогда 
- движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии 
.