Представление функции рядом Фурье (стр. 5 из 6)
Мы приходим к заключению, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
(23)При этом ввиду четности произведения
можно писать: 
(24)Отметим, что каждая функция
, заданная в промежутке 
, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функций: 
,Где
Очевидно, что ряд Фурье функции
как раз и составится из разложения по косинусам функции 
и разложения по синусам функции 
.Предположим, далее, что функция
задана лишь в промежутке 
. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье мы дополним определение нашей функции для значений x в промежутке 
по произволу, но с сохранением кусочной дифференцируемости, а затем применим сказанное в пункте «Случай непериодической функции».Можно использовать произвол в определении функции в промежутке
так, что бы получить для разложение только лишь по косинусам или только по синусам. Действительно, представим семе, что для 
мы полагаем 
, так что в результате получается четная функция в промежутке . Ее разложение, как мы видели, будет содержать одни лишь косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (22), куда входят лишь значения первоначально заданной функции .Аналогично, если дополнить определение функции
по закону нечетности, то она станет нечетной и в ее разложении будут одни лишь синусы. Коэффициенты ее разложения определяются по формулам (24).Таким образом, заданную в промежутке
функцию при соблюдении условий оказывается возможным разлагать как по косинусам, так и по одним лишь синусам.Особого исследования требуют точки
и 
. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим, для простоты, что заданная функция непрерывна при и , и рассмотрим сначала разложение по косинусам. Условие , прежде всего, сохраняет непрерывность при , так что ряд (21) при будет сходиться именно к 
. Так как, далее,
то и при
имеет месть аналогичное обстоятельство.Иначе обстоит дело с разложением по синусам. В точках
и сумма ряда (23) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения и 
, очевидно, лишь в том случае, если эти значения равны нулю.Если функция
задана в промежутке 
то, прибегнув к той же замене переменной, что и в предыдущем параграфе, мы сведем вопрос о разложении ее в ряд по косинусам 
или в ряд по синусам
к только что рассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам
или
.Примеры разложения функций в ряд Фурье
Функции, которые ниже приводятся в качестве примеров, как правило, относятся к классу дифференцируемых или кусочно-дифференцируемых. Поэтому сама возможность их разложения в ряд Фурье—вне сомнения, и на этом мы останавливаться не будем.
Все задания взяты из Сборника задач и упражнений по математическому анализу, Б. Н. Демидович.
№ 2636. Функцию
разложить в ряд Фурье.Так как функция
является нечетной, то, следовательно, 
будет четной. Поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит одни лишь косинусы.Найдем коэффициенты разложения;
№ 2938. Разложить в ряд Фурье функцию
. Изобразить этой функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции. 
Функция
нечетная, поэтому ее разложение будет содержать одни лишь синусы.
То есть, получается, что при четных значениях n коэффициент
, а следовательно и все слагаемое, обращается в нуль. Поэтому суммирование идет только лишь по четным значениям n.Ряд Фурье для этой функции примет следующий вид:
. 
Ниже изображены графики функций
и нескольких частных сумм ряда Фурье:График функции
, 
, 
и 
№ 2940.
в интервале 
.Функция
нечетная. 
№ 2941.
в интервале 
. 
В итоге получаем ряд Фурье:
