Представление функции рядом Фурье (стр. 4 из 6)

Особого внимания, однако, требуют концы промежутка

. При применении к функции теоремы предыдущего параграфа, скажем, в точке , нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции справа от , где они совпадают уже со значениями справа от ю Поэтому для в качестве значения надлежало бы взять

.

Таким образом, если заданная функция

даже непрерывна при , но не имеет периода , так что , то—при соблюдении требований кусочной дифференцируемости—суммой ряда Фурье будет число

отличное как от

, так и от . Для такой функции разложение имеет место лишь в открытом промежутке .

Следующее замечание так же заслуживает особого внимания. Если тригонометрический ряд

сходится в промежутке

к функции , то ввиду того, что его члены имеют период , он сходится всюду, и сумма его тоже оказывается периодической функцией с периодом . Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией .

Случай произвольного промежутка

Предположим, что функция

задана в промежутке произвольной длины и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке

,

то получится функция

от в промежутке , тоже кусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущего параграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка, можно разложить ее в ряд Фурье:

коэффициенты которого определяются формулами Эйлера—Фурье:

вернемся теперь к прежней переменной

, полагая

.

Тогда получим разложение заданной функции

в тригонометрический ряд несколько измененного вида:

(19)

Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не

, а . Можно было бы и формулы для определения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду

(20)

В отношении концов промежутка

сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек Конечно, промежуток может быть заменен любым другим промежутком длинны в частности, промежутком . В последнем случае формулы (20) должны быть заменены формулами

(20a)

Случай четных и нечетных функций

Если заданная в промежутке

функция будет нечетной, то очевидно

В этом легко убедится:

.

Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции

:

.

Пусть теперь

будет кусочно-дифференцируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанному

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

(21)

Так как

в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты разложения написать в виде

(22)

Если же функция

будет нечетной, то нечетной будет и функция , так что