Смекни!
smekni.com

Представление функции рядом Фурье (стр. 4 из 6)

Особого внимания, однако, требуют концы промежутка

. При применении к функции
теоремы предыдущего параграфа, скажем, в точке
, нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции
справа от
, где они совпадают уже со значениями
справа от
ю Поэтому для
в качестве значения
надлежало бы взять

.

Таким образом, если заданная функция

даже непрерывна при
, но не имеет периода
, так что
, то—при соблюдении требований кусочной дифференцируемости—суммой ряда Фурье будет число

отличное как от

, так и от
. Для такой функции разложение имеет место лишь в открытом промежутке
.

Следующее замечание так же заслуживает особого внимания. Если тригонометрический ряд

сходится в промежутке

к функции
, то ввиду того, что его члены имеют период
, он сходится всюду, и сумма его
тоже оказывается периодической функцией с периодом
. Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией
.

Случай произвольного промежутка

Предположим, что функция

задана в промежутке
произвольной длины
и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке

,

то получится функция

от
в промежутке
, тоже кусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущего параграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка, можно разложить ее в ряд Фурье:

коэффициенты которого определяются формулами Эйлера—Фурье:

вернемся теперь к прежней переменной

, полагая

.

Тогда получим разложение заданной функции

в тригонометрический ряд несколько измененного вида:

(19)

Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не

, а
. Можно было бы и формулы для определения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду

(20)

В отношении концов промежутка

сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек
Конечно, промежуток
может быть заменен любым другим промежутком длинны
в частности, промежутком
. В последнем случае формулы (20) должны быть заменены формулами

(20a)

Случай четных и нечетных функций

Если заданная в промежутке

функция
будет нечетной, то очевидно

В этом легко убедится:

.

Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции

:

.

Пусть теперь

будет кусочно-дифференцируемая в промежутке
четная функция. Тогда произведение
окажется нечетной функцией, и по сказанному

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

(21)

Так как

в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты
разложения написать в виде

(22)

Если же функция

будет нечетной, то нечетной будет и функция
, так что