Особого внимания, однако, требуют концы промежутка
. При применении к функции теоремы предыдущего параграфа, скажем, в точке , нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции справа от , где они совпадают уже со значениями справа от ю Поэтому для в качестве значения надлежало бы взять .Таким образом, если заданная функция
даже непрерывна при , но не имеет периода , так что , то—при соблюдении требований кусочной дифференцируемости—суммой ряда Фурье будет числоотличное как от
, так и от . Для такой функции разложение имеет место лишь в открытом промежутке .Следующее замечание так же заслуживает особого внимания. Если тригонометрический ряд
сходится в промежутке
к функции , то ввиду того, что его члены имеют период , он сходится всюду, и сумма его тоже оказывается периодической функцией с периодом . Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией .Предположим, что функция
задана в промежутке произвольной длины и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке ,то получится функция
от в промежутке , тоже кусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущего параграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка, можно разложить ее в ряд Фурье:коэффициенты которого определяются формулами Эйлера—Фурье:
вернемся теперь к прежней переменной
, полагая .Тогда получим разложение заданной функции
в тригонометрический ряд несколько измененного вида:Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не
, а . Можно было бы и формулы для определения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду (20)В отношении концов промежутка
сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек Конечно, промежуток может быть заменен любым другим промежутком длинны в частности, промежутком . В последнем случае формулы (20) должны быть заменены формулами (20a)Если заданная в промежутке
функция будет нечетной, то очевидноВ этом легко убедится:
.Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции
: .Пусть теперь
будет кусочно-дифференцируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанномуТаким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
(21)Так как
в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты разложения написать в виде (22)Если же функция
будет нечетной, то нечетной будет и функция , так что