Представление функции рядом Фурье (стр. 3 из 6)

Затем, разбивая интеграл на два:

и приводя второй интеграл путем замены знака переменной тоже к промежутку , придем к такому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:

(14)

Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр n.

Для дальнейшего изложения материала нам потребуется одна лемма, принадлежащая Риману, которую мы оставим без доказательства.

Если функция

непрерывна или кусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке , то

и, аналогично,

Если вспомнить формулы, выражающие коэффициенты Фурье

, то в качестве первого непосредственного следствия из леммы получается утверждение:

Коэффициенты Фурье

кусочно-непрерывной функции при стремятся к нулю.

Вторым непосредственным следствием является так называемый «принцип локализации».

Взяв произвольное положительное число

, разобьем интеграл в (14) на два: . Если второй из них переписать в виде

то станет ясно, что множитель при синусе

является кусочно-непрерывной функцией от t в промежутке

. В этом случае по лемме этот интеграл при стремится к нулю, так что и само существование предела для частичной суммы ряда Фурье и величина этого предела целиком определяется поведением одного лишь интеграла

Но в этот интеграл входят лишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента в промежутке от

до . Этим соображением доказывается «принцип локализации», состоящий в следующем:

Поведение ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке

зависит исключительно от значений, принимаемых этой функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.

Таким образом, если взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности

совпадают, то как бы они не расходились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке одинаково: либо оба сходятся, и притом к одной и той же сумме, либо оба расходятся.

Представление функций рядом Фурье

Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно—предположим ее кусочно-дифференцируемой в промежутке

.

Тогда имеет место общая теорема:

Теорема. Если функция f(x) с периодом

кусочно-дифференцируема в промежутке , то ее ряд Фурье в каждой точке сходится и имеет сумму

Эта сумма, очевидно, равна

, если в точке функция непрерывна.

Доказательство. Отметим, что равенство (14) имеет место для каждой функции f(x), удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять

, то , и из (14) получим, что

Умножая обе части равенства на постоянное число

и вычитая результат из (14), найдем

для нашей цели нужно доказать, что интеграл справа при

стремится к нулю.

Представим его в виде

(15)

где положено

(16)

если бы нам удалось установить что эта функция кусочно-непрерывна, то из леммы предыдущего параграфа следовало бы уже, что интеграл (15) имеет предел нулю при

. Но в промежутке функция g(x) вообще непрерывна, за исключением разве лишь конечного числа точек, где она может иметь скачки—ибо такова функция f(x). Остается открытым лишь вопрос о поведении функции g(x) при .

Мы докажем существование конечного предела

;

положив тогда g(0)=K, мы в точке t=0 получим непрерывность, и применение леммы окажется оправданным. Но второй множитель в правой части равенства (16) явно имеет пределом единицу; обратимся к выражению квадратных скобках.

Пусть, для простаты, сначала точка

лежит внутри промежутка, где функция f(x) дифференцируема. Тогда , и каждое из соотношений

(17)

стремится к пределу

, а — к нулю. Если же есть «точка стыка», то при этом она может оказаться как точкой непрерывности, так и точкой разрыва. В первом случае мы опять столкнемся с отношением (17), но они будут стремиться на этот раз к различным пределам, соответственно—к производной справа и к производной слева. К аналогичному результату придем и в случае разрыва, но здесь заменится значениями тех функций, от склеивания которых получилась данная, а пределами отношений (17) будут односторонние производные упомянутых функций при .

Итак, наше заключение справедливо во всех случаях.

Случай непериодической функции

Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений x и притом имеет период

. Между тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией f(x), иной раз даже заданной только в промежутке .

Что бы иметь право применить к такой функции изложенную теорию, введем взамен нее вспомогательную функцию

определенную следующим образом. В промежутке мы отождествляем с f(x):

(18)

затем полагаем

а на остальные вещественные значения x распространяем функцию

по закону периодичности.

К построенной таким образом функции

с периодом можно уже применить доказанную теорему разложения. Однако, если речь идет о точке , строго лежащей между и , то, ввиду (18), нам пришлось бы иметь дело с заданной функцией . По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислить по формулам вычисления коэффициентов не переходя к вспомогательной функции. Короче говоря, все доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию , минуя вспомогательную функцию .