Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников (стр. 8 из 9)
При этом 
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ab], если
таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) ).Если функция f(x), дифференцируемая на [ab], возрастает на этом отрезке, то
на [ab].Если f(x) непрерывна на [ab] и дифференцируема на (ab), причем
для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ab].Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то
или не существует.Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции.
Достаточные условия экстремума.
Теорема Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) если f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x) < 0 при x > x0 , точка х0 является точкой максимума;
2) если f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0 , точка х0 является точкой минимума;
3) если f ′(x) не меняет знак в точке х0 , эта точка не является точкой экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке находят по схеме:
1) найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;
2) вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.
Асимптоты.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.
1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.
2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при
или при 
конечен, т.е. 
.3. Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при
, 
, если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при 
.Общая схема исследования функции.
1) область определения функции и ее поведение на границах области определения (найти соответствующие односторонние пределы или пределы на бесконечности);
2) четность и периодичность функции;
3) интервалы непрерывности и точки разрыва (указав при этом тип разрыва);
4) нули функции (т.е. значения х , при которых f(x) = 0) и области постоянства знака;
5) интервалы монотонности и экстремумы;
6) интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба;
7) асимптоты графика функции.
Вопросы для самопроверки.
1.Каков геометрический смысл производной7
2.Каков геометрический смысл дифференциала?
3.Как использовать дифференциал для приближенного вычисления функции?
4.Как найти производную и дифференциал произведения трех функций7
5.Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.
6.Как вычисляется производная сложной функции? приведите пример.
7.Что такое вторая производная?
8.Как использовать формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции?
9.Каковы условия возрастания и убывания функции?
10.Сформултруйте необходимое и достаточное условие максимума дифференцируемой функции. В чем различие между необходимым и достаточным условием?
11.Что такое точка перегиба?
12.Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задача 1.
Даны векторы a и b. Найти вектор c = a + b и скалярное произведение (a ·b),
где a = {1, M + 4, -1, N - 5},b = {-M + 5, -1, 5 – N, 2} .
Задача 2.
Даны матрица А = || аij|| размерностью 3´3 и вектор-строка b. Найти произведения Ат×bт и b×А;
аij = -i – j + M – N – 4, b = {M-5, 1, 4-N}/
Задача 3.
Даны матрицы А = || аij|| и В = || bij|| размерностью 3´3. Проверить, коммутативны ли матрицы А и В, найти определители матриц. Элементы матриц вычисляются по формулам: аij= -i – j + M, bij= 2i - j + N – 5.
Задача 4.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и с помощью формул Крамера.
х + 2у + 3z = 10,-2х + у + (N-5)z = N-9,
x – y + 6z = 7.
Задача 5.
Составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными так, чтобы она:
1) имела единственное решение;
2) не имела решений;
3) имела бесконечно много решений.
Найти определители этих систем, учитывая, что каждое из уравнений системы является уравнением прямой линии на плоскости, изобразить эти прямые и пояснить, что означает каждый из трех вариантов с точки зрения взаимного расположения прямых.
Задача 6.
1) Найти расстояние между точками А ( N + 2, -M – 1, M + N) и B ( M,N,M – N) в трехмерном пространстве.
2) Найти точку пересечения прямых у = - (N +1)x +2 и y = (M +1)x – N – M.
3) Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( M +1,N +1) и перпендикулярной к прямой у = - 2х –1.
4) какая кривая описывается уравнением (N+1)x2 + (M+1)y2 =4? Написать каноническое уравнение этой кривой.
Задача 7.
Найти области определения функций:а) у = 11 – N – 2x ; б) у = 1 ;
х2 + 2 M + 3 x + M + 2Задача 8.
1. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1 = N + 1 +2i, z2 = -2 + (M +1)i.
2. Разложить на множители многочлен х2 – 2 N + 5 х + N + 6.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Задача1.
1. Найти пределы:
а) lim [(N + 5)x2 + ( M +2) x + ( N + M)];
x ®2
б) lim {(10 - N )ln[ e + tg (arcsin x )] + (10 - M)sin [ M + 1) arctg ex]};
x®0
в) lim (M+3)xN+5 + (M+1)xN+2+1
x®¥(2M+2)xN+5-1
г) limN+1+(10-M)x – N+1 -(2M-9)xx®0 x
 | |
д) lim [ x2(N+1) + (M +5)xN+1 - x2(N+1) - (M +1) x N+1]х ®¥
е) lim sin [(10 – N)x]
x ®0 ln[1+(12-M)x]
3. В каких точках непрерывны функции:
а) у = tg (M+3)x ; б) y = 1 ;
x2 + 2 ÖN + 3 x + N + 2Задача №2
Найти производные функций:
1) у = ( M+N+5)xM+N+2 2) y = ln(x+N)cos(M+2)x-e(N+1)xtg(M+2)x
3) y = arctg9N+2)x 4) y = sin[ln(3x+N+2)]-arctg[cos(M+3)x]
ln(2x+M+1)
Задача 3.
Найти вторую производную функции у = е(N+2)чcos(М+2)х.
Задача 4.
Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенное значение функции
у = ln[1 + (N+2)x] при х = 0,1
5
Задача 5.