Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников (стр. 3 из 9)

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель

, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

2) Если

система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

3) Если

= =0, система имеет бесконечно много решений.

4) Если

=0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Совместность линейных систем.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Вопросы для самопроверки.

1. Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?

2. Чему равно скалярное произведение двух векторов?

3. Как определяется местоположение элемента в матрице?

4. Что такое единичная матрица?

5. Что такое транспонированная матрица?

6. Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?

7. Что такое обратная матрица?

8. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?

9. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и препендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается

, .Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается |а|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а

Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

Разностью а – bвекторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},

то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ .

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Уравнение Ф(х,у) = 0 называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Прямая на плоскости.

,

каноническое уравнение прямой.

-

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt -

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

прямой в виде:

у = kx + b -

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей

через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

где

и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Уравнение прямой в отрезках.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то

.

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, по аналогии с пунктом 1 получим:

,

- условие параллельности,

- условие перпендикулярности.

Здесь

и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k₁x+b₁ и y = k₂x + b₂, где

, а α₁ и α₂ – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α₂ - α₁. Тогда

.

Условие параллельности имеет вид: k₁=k₂,

условие перпендикулярности – k₂=-1/k₁, поскольку при этом tgφ не существует.

Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат).

Расстояние от точки до прямой определяется так:

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число

, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:

Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

Расстояние между двумя точками М(х,у,z) и N( х₁,у₁,z₁) выражается формулой