Геометрические векторы (стр. 1 из 2)
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Геометрические векторы
1. Геометрические векторы. Основные определения
В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.
Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.
Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.
Следовательно, скаляры - это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).
Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.
Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Следовательно, утверждать, что если обе точки движутся со скоростью 2
, то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление - совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.
При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв
(первая соответствует началу, вторая - концу) или же одной буквы 
(здесь начало и конец не обозначены).  |
Определение 3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается
или 
.Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется ноль вектором и обозначается
.Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение 6. Два вектора
и 
называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.Записывается это так
.Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.
Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.
2. Простейшие операции над векторами
К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов
и 
, необходимо конец вектора совместить с началом . Вектор 
, соединяющий точки 
и 
, будет их суммой.  |
Обозначается сума следующим образом:
. Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.  |
Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
.Если слагаемых больше, например, три:
, поступают следующим образом. Строят вначале сумму 
, а затем, прибавляя 
, получают вектор 
.  |
Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале
, а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством: 
.Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору
. Очевидно, 
.2) Разность векторов.
Определение 2. Разностью двух векторов
и называется такой вектор 
, сумма которого с вычитаемым дает вектор .Значит, если
, то 
.Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы
и 
. Вектор 
соединяет концы векторов 
и и направлен от вычитаемого к уменьшаемому. 
Видно, что если на векторах
и построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.