Высшая математика для менеджеров (стр. 19 из 22)
Пример 3.38. Вычислить J =
.Решение. Учитывая, что
= d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = 
.Пример 3.39. Вычислить интеграл J =
.Решение. Имеем:
. Поэтому = = 
= 
.Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу
?Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно,
= 
.Но подынтегральная функция f(x) =
> 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.Пример 3.41. Вычислить интеграл
.Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)=
.По определению имеем:
= 
.По формуле Ньютона-Лейбница,
= F(b) - F(0) = 
+ 
= 
; 
= 
= 
.8.2Использование интегралов в экономических расчетах
Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией
f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой
V =
.В нашем случае
V =
= ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Решение. Имеем:
V =
.Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t), тогда наращенная сумма находится как
S = P exр
d t dt,а современная величина платежа P = S exр(-
d t dt).Если, в чаcтности, d t является линейной функцией времени: d t = d o + at, где d o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то
d t dt = (d o + at)dt = d o n + an2/2;множитель наращения exр(d o n + an2/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d t = d o at, где d o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда
d t dt = d o at dt = d o at /lna 
= d o(an -1)/lna;множитель наращения exр(d o(an -1) / lna).
Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,25-1) / ln1,2) » » exр 0,653953 » 1,921397.
Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией R t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна
.В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:
S =
.Современная величина такого потока равна
A =
.Пусть функция потока платежей является линейной: Rt = Ro + at, где Ro - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:
A =
= 
+ 
.Обозначим A1 =
, A2 = 
.Имеем: A1 =
= - Ro/d 
ê 
= - Ro/d( 
-eo) = - Ro/d( -1) = = Ro( -1)/d. A2 = 
. Вычислим неопределенный интеграл 
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = 
= - /d, тогда = - t /d + 1/d = - t /d (t+1/d) +C. Следовательно, A2 = -a t /d (t+1/d)ê = ((1- )/d - n )a/d.Итак, исходный интеграл
A = A1 + A2 = Ro(
-1)/d + ((1- )/d - n )a/d.9. Дифференциальные уравнения
При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если
y¢ = f(x),
или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой
y = ò f(x)dx
и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида
F(x, y, y¢, y¢¢,..., y(n)) = 0. (9.1)
Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.
В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.