Высшая математика в экономике (стр. 2 из 2)

;

Уравнение регрессии:

= 34,06 + 2,642 · х

Рассчитаем по данному уравнению значения для

и запишем их в дополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед:

= 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.

Найдем прогноз на год вперед:

= 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:

;

Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).

= 2x + y - 4; = 4y + x - 2;

; ; ; ;

Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)

= 2 = А, = 1 = B

= 4 = C, Δ = AC - B² = 2 * 4 - 1 = 7

Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.

Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.

Решение:

Полезность максимальна при равенстве первых производных:

= ; = ; = ; =

Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140

Составим систему.

; ; ;

Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q:

и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.

и ,

Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:

D (Q) = S (Q);

= ; ; - t² - 10t + 200 = 0

t₁ = - 34,685 и t₂ = 12,685, t₁ - не удовлетворяет условию

=12,685; Q = 160,9 ед.

При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.

Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:

S_потр =

- 126,85 · 160,9 = - 20410,165 =

= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.

Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:

S_произв = 126,85 · 160,9 -

= 20410,165 - =

= 20410,165 - 5 * 12,685³ = 10204,5 ден. ед.

Литература

1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.

4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.