Некоторые понятия высшей матаматики (стр. 2 из 3)

Уравнение окружности с центром в начале координат

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная,

, чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а – сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a – большая полуось эллипса).

- малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид

.

Число

называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.

Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F₁, F₂ – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов

, где а – действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы

.

Гипербола пересекает ось Ох в точках

и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

.

Эксцентриситет гиперболы

.

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид

.

Эксцентриситет параболы

- отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.

Общее уравнение второго порядка

- общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос:

.

Поворот осей:

- инварианты. - дискриминант

Если

>0, то уравнение эллиптического вида

Если

<0, то уравнение гиперболического типа

Если

=0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда

(1)

(B=0)

1.

. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в

(1)

+

(2)

(3)

а)

>0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде

, где

б)

<0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`=

, , , тогда .

Если F₀=0, то

, получаем пару пересекающихся прямых.

Если F₀>0, то

(гипербола)

Если F₀<0, то

(гипербола, где оси поменялись местами)

в)

(параболический тип) A`C`=0

(5)

а) D`=E`=0, пусть

б)

** в (5)

, где 2р= , если p>0, то парабола .

Теория пределов

Число а называется пределом последовательности x_n для любого (

) сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .

Предел последовательности

Под числовой последовательностью

понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности x_n (x=1,2,…):

=а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N( ), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .

1)

, - натуральное число. Если x_n=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.