Основы теории вероятности (стр. 1 из 9)
Цель пособия
Цель создания данного пособия – на разных задачах, имеющих вероятностный характер, показать наиболее типичные алгоритмы их решения. С тем, чтобы не столько научить студента решать подобные задачи, сколько пробудить в нём интерес к теории вероятности.
На базе этого материала можно решать более сложные задачи теории вероятности.
Пособие будет полезным для самостоятельной работы студентов любых курсов специальностей: экономика, менеджмент, психология.
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Соединения – это группы элементов некоторого конечного множества.
В элементарной алгебре рассматриваются 3 вида соединений: размещения, перестановки и сочетания [2]-[5]. Остановимся на вопросе о подсчёте числа таких комбинаций.
Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества данного множества из n элементов (m<n), отличающиеся друг от друга порядком следования элементов или хотя бы одним элементом. Например, из 3-х цифр 7,8,9 можно составить 3 числа по одной цифре: 7, 8, 9 , – шесть чисел по 2 цифры:
Число всех возможных комбинаций из n элементов по m обозначается
(arrangement(фр.) - размещение) и вычисляется по формуле: 
Перестановки – упорядоченные n-элементные соединения из n элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов. Число перестановок из n элементов
(1.2)Например,
и т.д.Сочетания – неупорядоченные m-элементные соединения из n элементов данного множества, отличающиеся хотя бы одним элементом. Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом
(combinare (лат.) - соединять). 
(1.3)Например,
Используя основное свойство числа сочетаний 
, мы упростим вычисления 
.Кроме этого свойства числа сочетаний часто используется следующее:
.Кроме того, принята, по определению, запись:
Задачи
Задача №1. В розыгрыше первенства страны по футболу приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотые и серебряные медали?
Решение. Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После чего одна из 15 команд может иметь серебряную медаль. Общее число способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно
(правило произведения).Задача №2. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6 вторых и 4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?
Решение. Согласно правилу произведения число способов равно
.Задача №3. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
Решение. Здесь нужно воспользоваться формулой размещения из 10 элементов по 6:
.Задача №4. Сколькими способами можно разделить 6 шоколадок 14 лицам? (1 место – 1 плитка).
Решение.
1.Все плитки различны. Число способов равно числу размещений из 14 по 6:
.2.Все плитки одинаковы. Число способов равно числу сочетаний из 14 по 6:
Задача №5. В группе 20 мальчиков и 20 девочек. Все умеют петь, танцевать, декламировать. Сколькими способами можно составить дуэты из учащихся групп?
Решение. Число способов выбрать из 20 мальчиков певца, танцора и декламатора равно числу размещений из 20 по 3 -
. Аналогично из 20 девочек: . Общее число способов выбора дуэтов певцов, танцоров и декламаторов по правилу произведения равно 
способов.Задача №6. Необходимо укомплектовать экипаж космического корабля в составе: командир корабля, I его помощник, II его помощник, 2 бортинженера, 1 врач. Командующая тройка может быть отобрана из 25 готовящихся к полёту лётчиков; 2 бортинженера – из 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля; врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж корабля?
Решение.
.Задача №7. Из 30 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, … 30 выбирают 3 числа так, чтобы их сумма была чётной. Сколько способов такого выбора?
Решение. Сумма трёх чисел чётная, если все они чётные или из трёх 2 нечётные и 1 чётное. Например,
2 + 4 + 6 =12 и 3 + 5 + 2 = 10.
Следовательно, число способов необходимого выбора равно сумме числа сочетаний из 15 чётных чисел по 3 и числа сочетаний из 15 нечётных чисел по 2, умноженного на число чётных, т.е. 15.
.Задача №8. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?
Решение. Один из способов показан на рисунке, а общее число способов равно числу перестановок из восьми:
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
| Ξ |
рис.1
Задача №9. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько разных стартовых пятёрок может образовать тренер?
Решение. Т.к. нас интересует только состав, то имеем:
Раздел 2. Классическое определение вероятности (теория урн)
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m результатов (исходов) эксперимента, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных результатов эксперимента:
(2.1)При этом
.Например, вероятность выпадения числа при одном бросании правильной монеты равна 1/2.
Задачи
Используя формулы и результаты решения задач раздела 1, решим задачи на вычисление вероятности события (по классическому определению).
Задача №10. В урне 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров, не различимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Наудачу достают 1 шар. Найти варианты событий: извлечённый шар красный (событие А), синий (событие B), белый (событие С).
Решение. Всего исходов эксперимента, состоящего в извлечении одного шара, 20=3+8+9, т.е. в формуле (2.1), n=20. Событию А благоприятствует 8 исходов, т.е. mА=8, аналогично mВ=3, mС=9.
По формуле (2.1) имеем:
Примечание. Если сложить полученные вероятности, то получим 1, т.е. Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1, что говорит о том, что А, В и С составляют полную группу событий (см. раздел 3).
Задача №11. В расписании 3 лекции по разным предметам. Всего на курсе изучается 10 предметов. Какова вероятность того, что студент, не знакомый с расписанием, угадает его, если все варианты составления расписания на день равновозможные.
Решение. Всего комбинаций из 3-х предметов, выбранных из 10 и отличающихся друг от друга хоть одним предметом или порядком их следования, т.е. размещений из десяти элементов по три, можно получить:
.Нам нужна только одна комбинация
вероятность угадать расписание: 
.Задача №12. На 8-ми одинаковых карточках написаны 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Найти вероятность того, что образованная из 2-х чисел дробь сократима.
Решение. Всех исходов столько, сколько есть вариантов выбора двух карточек из 8 одинакового формата Þ
. Из них только 
карточек благоприятствуют событию А, т.к. только 5 чисел 2, 4, 6, 8, 12 сократимы Þ 
.
.