Основы теории вероятности (стр. 4 из 9)
Задача №46 (о легкомысленном члене жюри).
В жюри из 3-х человек 2 члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р, а третий для вынесения решения бросает монету. Окончательное решение выносится большинством голосов.
Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри вынесет справедливое решение с большей вероятностью?
Решение. Пусть оба (из 3-х) членов жюри сходятся во мнениях, тогда вероятность справедливого решения равна 
. При этом результат голосования 3-го жюри несущественен. Если судьи расходятся во мнениях, то вероятность справедливого решения 2-х судей – 
. Полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из 3х членов равна:2р(1-р)
р2 
р-р2 
р.Вывод: Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести справедливое решение.
Раздел 4. Основные теоремы теории вероятности
4.1 Формула полной вероятности
Группа гипотез – полная группа несовместных событий (пусть это будет Н1, Н2 , …, Нn). Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из них. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
(4.1)которая называется формулой полной вероятности.
Здесь:
- вероятности гипотез; 
-условные вероятности события А.Задачи
Задача №47. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы равна: для лыжников – 0,9, для велосипедистов – 0,8, для бегунов – 0,75.
Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
Решение.
А = {спортсмен выполнил норму};
Н1 = {выполнил лыжник};
Н2 = {выполнил велосипедист};
Н3 = {выполнил бегун}.
Задача №48. Стрельба производилась по 3-м мишеням. По 1-ой – 5 раз, по 2-ой – 3 раза, по 3-ей – 2 раза. Вероятность попадания по 1-ой мишени равна 0,4, по 2-ой мишени – 0,1, по 3-ей – 0,12. Найти вероятность одного попадания в мишень.
Решение. Пусть A = {попадание в мишень при одном выстреле}
H1 = {стреляли в 1-ю мишень} P(H1) = 0,5
H2 = {стреляли в 2-ю мишень} P(H2) = 0,3
H3 = {стреляли в 3-ю мишень} P(H3) = 0,2
P(A/H1) = 0,4 P(A/H2) = 0,1P(A/H3) = 0,12
По формуле (4.1) имеем: 
.Задача №49. В лаборатории 3 одинаковых клетки. В 1-й - 3 белых и 7 коричневых мыши, во 2-й – 5 белых и 6 коричневых. В 3-й – 7 белых и 2 коричневых. Случайным образом берут из одной клетки мышь. Найти вероятность того, что выбрана белая мышь (событие А).
Решение. Пусть имеется 3 гипотезы:
Н1 = {выбрана мышь из 1-й клетки};
Н2 = {выбрана мышь из 2-й клетки};
Н3 = {выбрана мышь из 3-й клетки};
Р(Н1)= Р(Н2)= Р(Н3)=1/3
Условные вероятности события А будут равны:
Р(А/Н1)= 3/10; Р(А/Н2)=5/11; Р(А/Н3)=7/9.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №50. Судостроительный завод получает от 3-х предприятий детали: от предприятия В – 60%, от С – 30%, от D – 10%. При этом на каждом из этих предприятий допускается брак, соответственно на В – 4%, на С – 5%, и на D – 6%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будет бракованной (событие А), если известно, от какого предприятия она поступила.
Решение. В качестве гипотез событий примем:
Н1 = {деталь поступила от предприятия В};
Н2 = {деталь поступила от предприятия С};
Н3 = {деталь поступила от предприятия D}.
Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1
Условные вероятности события А равны соответственно:
Р(А/Н1)= 0,04;Р(А/Н2)=0,05;Р(А/Н3)=0,06.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №51. В магазин поступили телевизоры от 5-ти фирм в следующем количестве:
| Фирма | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Количество телевизоров | 5 | 10 | 6 | 8 | 11 |
| Рi | 0,98 | 0,8 | 0,6 | 0,3 | 0,1 |
Рi – вероятности того, что телевизоры исправны.
Найти вероятности того, что купленный наугад телевизор исправно работает (событие А)
Решение.
1) В качестве гипотез выберем события:
{телевизор i-й фирмы}, (i= 
).2) Найдём вероятности гипотез, учитывая, что п=40:
Р(Н1) = 5/40; Р(Н2) = 10/40; Р(Н3) = 6/40; Р(Н4) = 8/40; Р(Н5) = 11/40.
3) Условные вероятности равны:
Р(А/Н1) = 0,98; Р(А/Н2) = 0,8; Р(А/Н3) = 0,6; Р(А/Н4) = 0,3; Р(А/Н5) = 0,1.
4) По формуле (4.1) имеем:
Задача №52. Имеются 3 одинаковых ящика, в каждом из которых по 20 однотипных деталей. Определить вероятность того, что извлечённая из наугад выбранного ящика деталь стандартная (событие А), если известно, что в 1-м ящике 18 стандартных деталей, во 2-м – 17, в 3-м – 16.
Решение. Если в качестве i-й гипотезы (i = 1,2,3) выбрать событие
Нi = {деталь из i-го ящика}, то Р(Нi) =1/3.
Р(А/Н1) = 18/20;
Р(А/Н2) = 17/20;
Р(А/Н3) = 16/20.
По формуле (4.1) имеем:
4.2 Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез
(см п.4.1). Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса: 
(4.2)Задачи
Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения – с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?
Решение. В качестве гипотезы примем:
Н1 = {выбранный наугад человек со средним образованием};
Н2 = { выбранный наугад человек со высшим образованием }.
Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3.
Пусть соб. А = {выбранный наудачу человек безработный}, тогда
P(A/H1) = 0,1, P(A/H2) = 0,02.
Нужно определить P(
) по формуле (4.2).Имеем:
Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го – 50% плана, II-го – 30% плана, III-го – 20% плана. Вероятность получения годного узла равна 0,92, если деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка, 0,82, если деталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попали детали, изготовленные на первом станке, если узел годный.
Решение. А = { узел годный};
Н1 = {деталь с I-го станка};
Н2 = {деталь со II-го станка};
Н3 = {деталь с III-го станка};
Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2.
Р(А/Н1)=0,92; Р(А/Н2)=0,95; Р(А/Н3)=0,82.
Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации – 0,9, а специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, что прибор собран специалистом высокой квалификации.
Решение.
Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.
До проверки прибора возможны 2 гипотезы:
Н1 = {прибор собран специалистом высокой квалификации};
Н2 = { прибор собран специалистом средней квалификации }.
Р(Н1) = 0,3, Р(Н2) = 0,7.
Условные вероятности события А равны:
P(A/H1) = 0,9, P(A/H2) = 0,8.
Пусть событие А произошло, тогда
.Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов), четверо – на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое – на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовился на отлично?
Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса} и гипотезы:
Н1 = {1-й ученик подготовлен на 5};
Н2 = {1-й ученик подготовлен на 4};
Н3 = {1-й ученик подготовлен на 3};
Н4 = {1-й ученик подготовлен на 2}.
P(H1) = 0,3; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1