Основы теории вероятности (стр. 2 из 9)
Задача №13. Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. Найти вероятность того, что вытянутый билет из 2 вопросов будет состоять из подготовленных вопросов.
Решение.
Задача №14. Из 30 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбирают 4 карточки. Чему равна вероятность того, что эти 4 карточки в порядке выхода составят слово "небо"?
Решение.
15 
.Задача №15. На полке расставлено наудачу 10 книг. Определить вероятность того, что 3 определённые книги окажутся рядом.
Решение.
.Пояснение. При вычислении m три указанные книги принимаем за одну.
Задача №16. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 выигрывают, 500 проигрывают. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что оба билета выиграют.
Решение. Пусть случайное событие А={2 билета выигрывают}, тогда:
Задача №17. Наудачу выбирается 5-тизначное число. Какова вероятность события:
А = {число симметрично относительно центральной цифры};
В = {число кратно 5};
С = {число состоит из нечётных цифр}.
Решение. Всего пятизначных чисел:
(правило произведения). 
Задача №18. В коробке 15 одинаковых изделий, 5 из них окрашены. Наугад извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что
a) все 3 изделия окрашены;
b) одно изделие окрашено.
Решение. Рассмотрим события:
А1 = {все 3 изделия окрашены};
А2 = {из всех 3 изделий только 1 окрашено}.
Задача №19. Среди 12-ти студентов, 7 из которых девушки, раздают 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов будут 3 девушки (событие А).
Решение.
Задача №20. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется туз.
Решение.
.Задача №21. Из 10 изделий, из которых 3 бракованные, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что:
a)в полученной выборке все изделия бракованные;
b)в полученной выборке 2 изделия бракованные.
Решение.
А={в полученной выборке все изделия бракованные};
B={в полученной выборке 2 изделия бракованные};
.Задача №22. Дано пять отрезков, длины которых составляют соответственно 1, 3, 5, 7, 9. Определить вероятность того, что из взятых наудачу 3-х отрезков из данных пяти можно построить треугольник (событие А).
Решение. Всего отобрать 3 отрезка из заданных 5-ти можно
вариантами, т.е. 
; благоприятных (a 
b>c или a-b<c) только 3: (3,5,7), (3,7,9), (5,7,9) 
.Задача №23. Кандидаты в студенческий совет: 3 – от I-го курса, 5 – от II-го, 7 – от III-го. Выбираются наудачу 5 человек на конференцию. Найти вероятность того, что делегация будет состоять из 1-го первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников.
Решение. Пусть А = {делегация состоит из 1-го первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников}.
Тогда:
Задача №24. Наугад выбирают 6 клеток из 49 (спортлото). Найти вероятность того, что будет правильно угадано 3 клетки (событие А), 6 клеток (событие В).
Решение.
Раздел 3. Алгебра событий
Исходя из определения суммы и произведения событий, совместных и несовместных событий, зависимых и независимых событий, основных теорем алгебры событий [1],[2] запишем основные формулы, связанные с ними.
Пусть рассматриваются события А и В, которые могут произойти в данном эксперименте с вероятностью Р(А) и Р(В) соответственно.
Если эти события несовместны, то имеет место формула:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (3.1)
Если события А и В совместные, то:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (3.2)
Если события А и В независимые, то:
, (3.3)в противном случае
(3.4)Здесь Р(В/А) и Р(А/В) – условные вероятности.
Задачи
Задача №25. Вероятность попадания стрелком в I-ю область мишени равна 0,45, во II-ю – 0,35, в III-ю – 0,15. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в I-ю или во II-ю область мишени (рис.2).
Рис.2
Решение. Пусть:
А1 ={попадание в I-ю область},
А2 ={попадание во II-ю область}.
События А1и А2 несовместны при одном выстреле. Поэтому
Задача №26. Из 10 тыс. лотерейных билетов:
10 – по 200 грн., 100 – по 100 грн.,
500 – по 25 грн., 1000 – по 5 грн. выигрыша.
Найти вероятность того, что купленный билет будет содержать выигрыш не менее 25 грн.
Решение. Пусть события:
А = {выигрыш в случайно купленном билете не менее 25 грн.};
А1 ={выигрыш составил 25 грн.};
А2 ={выигрыш составил 100 грн.};
А3 ={выигрыш составил 200 грн.};
Тогда вероятность выигрыша 25 грн.
.
Аналогично,
Очевидно, что событие А представляет собой сумму событий А1, А2, А3, несовместных между собой, поэтому:
Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 0,061.
Задача №27. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение. Пусть:
А={белый шар из 1го ящика};
В={белый шар из 2го ящика}.
Тогда:
События A и В независимы
.Задача №28. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для 1-го стрелка (событие А) равна 0,75, для 2-го (событие В) – 0,8, для 3-го (событие С) – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель (событие D).
Решение. События A, B, C – независимы
Задача №29. В условиях задачи №28 найти вероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок (событие R).
Решение. Найдём вероятность того, что в цель не попадёт ни один стрелок (событие
).Т.к.
- событие, противоположенное событию R, оно равно 
Задача №30. Найти вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле (событие В), если вероятность события
А={хотя бы одно попадание в цель при 4-х выстрелах}=0,9984
Решение
=0,9984,
= {ни одного попадания в цель при 4-х выстрелах} 
Вероятность непопадания при одном выстреле равна:
Окончательно получаем:
= 
Задача №31. Студент обходит 3 библиотеки. Вероятность того, что книга есть в каждой из 3-х библиотек равна р1, вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна р2. Какова вероятность того, что студент достанет книгу хотя бы в одной из библиотек.
Решение.
А1 = {достанет книгу в 1-ой библиотеке};
А2 = {достанет книгу во 2-ой библиотеке};
А3 = {достанет книгу в 3-й библиотеке};
В1 = {книга есть};