Расчет вероятностей событий (стр. 2 из 3)
Ответ:
, 
, 
Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.
Решение:
Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения
По условию
и 
Найти:
Для нормального распределения СВ X
где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид
.Значения Ф(Х) – табулированы
Ответ:
Задание №6
Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.
Решение:
Пусть X – случайная величина расстояния, м
По условию
Найти:
Ответ:
Задание №7
При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.
Решение:
По условию задана выборка объемом
и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее 
. Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания 
, если доверительная вероятность должна быть равна 
1. Доверительный интервал имеет общий вид
2. По условию
находим из решения уравнения 
→ 
→ 
используя таблицу значений функции Лапласа
3. Находим значения концов доверительного интервала
. 
.Т.о., искомый доверительный интервал
, т.е. 
Ответ:
Задание №8
При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.
Решение:
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| mi | 0,148 | 0,149 | 0,151 | 0,153 | 0,155 |
Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле:
- предельная ошибка малой выборки.Учитывая, что
определим 
табулированные значения 
- критерия Стьюдента. 
.Таким образом,
.Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088
Задание №9
При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.
Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.
Решение:
Пусть
- гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.При достаточно больших объемах выборки выборочные средние
и 
имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием 
и дисперсией 
.При выполнении гипотезы
статистика 
имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)По данным задачи
В случае конкурирующей гипотезы
выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия 
Т.о.
Табулированное значение
Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е.
, то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.Т.к. наблюдаемое значение статистики
, а критическое значение 
, то в силу условия → 
делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны. Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:
| X | 60 | 65 | 66 | 70 | 64 |
| Y | 72 | 71 | 80 | 78 | 69 |
Решение:
Пусть
- гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10Вычислим
и 