Разностные схемы для уравнений параболического типа (стр. 2 из 2)
2. Устойчивость двухслойных разностных схем
Определим норму в пространстве 
по правилу
.
Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, 
возможна устойчивость этой схемы.
Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых
, 
имеет место оценка 
,
гдеМ – постоянная, не зависящая от 
и 
и 
.
Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.
Перепишем формулу в виде
, 
, (3.17)
.
Пусть выполнено условие
или 
. (3.18)
Тогда из (3.17) получим:
,
или
. (3.19)
Неравенство (3.19) означает, что при 
, 
не превосходит 
,тоесть невозрастает с увеличением n.
Это свойство однородной разностной схемы принято называтьпринципом максимума. Положим в (3.19) 
. Это даст
,
,
.
Заметим, что 
есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим
(3.20)
где обозначено
На основании (3.20) можно записать
или .
Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на 
и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что
. (3.21)
Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени приходится выбирать очень малым.
Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,
Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон
и перепишем ее в виде
(3.22)
Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения 
на первом временном слое со значениями 
на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:
(3.23)
Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных 
.
Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть 
, а на прямых x=aи x=bдополнительно заданы некоторые ограничения на решение 
, то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях 
.
Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия 
, 
, то вид системы (3.23) существенно изменится:
(3.24)
Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно 
. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение 
. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения
число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка 
и устойчива при 
. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .