Применение неравенств при решении олимпиадных задач (стр. 2 из 3)

, (2)

если 0<n<1, то

, (3)

где x > -1.

Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.

Доказательство(I способ):

, где x_i – числа одного и того же знака и .

Применяем метод математической индукции.

Проверяем неравенство для n=1:

. Неравенство верно.

Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство

.

Умножим его на неотрицательное число 1+x_n+1 (оно неотрицательно, т.к.

). Получим:

.

Т.к. x_i одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:

.

Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n.

Доказательство(II способ):

Также применяем метод математической индукции.

При n=1 имеем

, . Утверждаем, что при n=k неравенство верно: . Тогда при n=k+1 имеем

.

Неравенство доказано.

Весовое (общее) неравенство Коши

Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши – это общее, или весовое, неравенство Коши.

Теорема. Для любых действительных положительных чисел m₁, m₂, …, m_n и для любых неотрицательных x₁, x₂, …, x_n имеет место неравенство

. (1)

Числа m₁, m₂, …, m_nназываются весовыми коэффициентами.

Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовых коэффициентов m₁, m₂, …, m_n, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменатель левой части (1) не превращался в ноль и выражения

имели смысл (т.е. не все m₁, m₂, …, m_n равны нулю и числа x_i и m_i одновременно не равнялись нулю).

Понятно, что при m₁= m₂= …= m_n, весовое неравенство Коши превращается в обыкновенное неравенство Коши.

Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовым средним арифметическим, а то, которое в правой – весовым средним геометрическим.

Неравенство (1), для натуральных m₁, m₂, …, m_n, непосредственно следует из обыкновенного неравенства Коши:

. (2)

Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовыми коэффициентами легко привести к случаю, когда

.

3.2 Решение задач с применением данных неравенств

Неравенство Йенсена

Задача:

Пусть a₁,…, a_n> 0,

. Доказать .

Решение:

Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x², m_i=n. Получаем:

, , ,

что и требовалось доказать.

Неравенство Коши-Буняковского

Задача:

Пусть a+b+c=1. Доказать, что

.

Решение:

Из неравенства Коши-Буняковского имеем

.

А отсюда имеем, что

.

Неравенство Коши

Задача:

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что

(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).

Решение:

Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим

, получаем

.

Аналогично

,

.

Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.

Неравенство Бернулли

Задача:

Решить уравнение

.

Решение:

К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда

,

причем равенство возможно лишь при

, т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 – корни уравнения.

Весовое (общее) неравенство Коши

Задача 1:

Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство

.

Решение:

По весовому неравенству Коши (

), имеем

.

Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство

. Равенство достигается приa=b.

Задача 2:

Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство

(1).

Решение:

По весовому неравенству Коши имеем, что

.

Добавляя к указанному неравенству аналогичное

получаем

,

что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.

Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1).

Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m₁=7, m₂=4, m₃=1.

Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши

. (4)

Подберём весовые коэффициенты m₁, m₂, m₃ так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a³b. Для этого достаточно решить систему

(5)

Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))

, (6)

то получим

. (7)

Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства

(8)

Решая систему (8), имеем m₁=7 m₃, m₂=4 m₃. При таком подборе m₁ , m₂ , m₃ неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1).

Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.

3.3 Сборник задач

Упражнение 1. Неравенство Йенсена:

1.Докажите неравенство

, (подсказка: ).

2.Докажите неравенство

, где .

3.Докажите неравенство

, при .

Упражнение 2. Неравенство Коши-Буняковского: