Полурешетки m-степеней (стр. 4 из 4)

2. Практическая часть.

§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций

Определение:

Идеалом полурешетки L назовем всякое подмножество I отличное от Ø, удовлетворяющее следующим условиям:

1.

;

2.

.

Идеал называется главным, если он содержит наибольший элемент.

Рассмотрим множество всех m-степеней частичных характеристических функций, то есть:

Н={

}.

Предположение 4.1:

Множество Н является главным идеалом полурешетки L.

Доказательство:

1. Берем две степени

для некоторых р.п. множеств А и В. точной верхней гранью будет степень, содержащая функцию .

Определим множество А

В:

{ }.

Докажем, что

.

Будем пользоваться определением 15 для доказательства данного равенства.

Рассмотрим 4 случая.

1) если x=2t,

И если x=2t,

2) Если x=2t,

И если x=2t,

3) Если x=2t+1,

И если x=2t+1,

4) Если x=2t+1,

И если x=2t+1,

Следовательно, равенство

справедливо во всех четырех случаях, т.к. обе его части равносильны в рассмотренных случаях.

.

2. Пусть

. По определению m-сводимости из следует, что существует рекурсивная функция f такая, что: , откуда . Из утверждения 2.2 и того, что всякое р.п. множество m-сводимо к креативному следует, что: - наибольший элемент в Н, где k – креативно.

Тогда Н – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.

Рассмотрим множество всех m-степеней рекурсивных функций, то есть:

М={

}.

Предположение 4.2: Данное множество М является главным идеалом полурешетки L.

Доказательство:

1. Берем две степени рекурсивных функций, их точной верхней гранью будет

, где также рекурсивная функция.

2. Если

, откуда существует рекурсивная функция h, такая, что , где также рекурсивная функция. Далее, посредством f(x) для любой рекурсивной функции f(x), отсюда - наибольший элемент в М.

М – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.

Литература

1. Дегтев А.Н. Сводимость частично-рекурсивных функций. – Сибирский математический журнал, 1975 т. 16, №5, с. 970-988.

2. Ершов Ю.Л. Теория нумераций. – М.: Наука, 1977.

3. Кагленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М.: Мир, 1983.

4. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1965.

5. Поляков Е.А., Розинас М.Г. Теория алгоритмов. – Иваново: ИвГУ, 1976.

6. Поляков Е.А., Маринина Н.В. Теория алгоритмов. – Шуя: ШГПУ, 2004.

7. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М.: Мир, 1972.