Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (стр. 4 из 5)
Следствие 1.Если 
– мнимый корень квадратного трехчлена, то 
‑ поле.
Следствие 2. Любое простое расширение 
является полем 
, порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что
. Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный многочлен 
, что 
- его корень многочлена. Для этого достаточно представить 
. Возьмем такой 
, что 
, тогда 
. Очевидно, 
. Таким образом, нам удалось найти многочлен из 
. То есть, 
- поле. ■Рассмотрим последовательность действительных чисел
: 
(**)Будем говорить, что последовательность
задается числами pи q.Лемма 2.3.3.Существует n, что 
.
Доказательство. Пусть
. Покажем, что последовательность 
убывающая. 
,то есть
.Пусть
, тогда 
Так как
, то 
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что
, то есть - убывающая.Так как
- монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует 
. Тогда 
.То есть,
. Но тогда 
, 
,что невозможно для
. То есть, 
. ■Лемма 2.3.4. Если
, то существует 
, что 
.Доказательство. Запишем а и bв виде десятичных дробей:
, 
Так как , то существует k, что 
и 
.Тогда
. Рассмотрим число 
. 
То есть,
. ■Теорема 2.3.5.Если 
и 
, то
.Доказательство. По лемме 2.3.3,
. Пусть 
.Если n=1, то
. Рассмотрим 
. 
То есть,
.Так как
. По лемме 2.3.4 
. Тогда .Рассмотрим n > 1.
Пусть
.Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.
То есть,
Заметим, что
. Для существования 
, по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий 
и 
, то есть, 
. Обозначим 
. Так как 
, то 
и 
. Для существования 
достаточно доказать существование 
и 
. То есть, 
. Обозначим 
. Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что 
. По лемме 2.3.4, 
существует, если 
и 
. Эти условия следуют из того, что 
и 
.