Поиск оптимальных решений (стр. 2 из 2)

4. Функционалы в задачах условной оптимизации

Конструирование выпуклого квадратичного функционала с учетом ограничений рассмотрим для следующей задачи:

В приведенную обобщенную запись задачи минимизации включены:

Минимизируемая функция вектора искомых параметров (функция цели или критериальная функция):

f(x),

.

Система ограничений типа равенств:

Система ограничений типа неравенств:

Ограничения на изменения самих неизвестных параметров

,

которые в принципе являются частным случаем ограничений типа неравенств

при , кроме и , задающего границы изменения конкретного параметра:

В качестве квадратов функций невязок для ограничений типа равенств берутся квадраты исходных равенств, умноженные на выравнивающие масштабирующие коэффициенты, которые позволят каждой невязке вносить в общий функционал одно-порядковые приращения при подстановке в него вектора неизвестных:

, j=1, 2, ... ,J.

Систему неравенств необходимо предварительно преобразовать в систему равенств путем умножения ее на единичную (знаковую) функцию

Теперь система квадратов невязок для неравенств будет представлена в виде квадратов следующих функций

.

Аналогично вводятся квадраты невязок и для ограничений на параметры снизу и сверху:

Составной функционал, учитывающий ограничения и требующий минимизации, можно теперь записать в следующем виде:

.

В результате проведенных преобразований исходная задача сведена к задаче безусловной оптимизации и, применяя метод наискорейшего спуска, систему покомпонентных градиентных уравнений получим в виде:

Выражение для

в больших круглых скобках задает кривую с зоной нечувствительности для в интервале . В этом интервале выражение в скобках равно нулю, а вне интервала - пропорционально с коэффициентом . Если ограничения на переменную не вводятся, т.е. ее границы раздвинуты от до , то выражение в скобках будет равно нулю.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. - 383с.

2. Рено Н.Н. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ. Изд-во: "Книжный дом Университет" (КДУ), 2007. – 24с.

3. Самарский А.А. Введение в численные методы Учебное пособие для вузов 3-е изд.,стер. ЛАНЬ, 2005. – 288с.

4. Фаворский А.П., Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. Логос, 2006. – 184с.

5. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. - 255с.