Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (стр. 1 из 6)

Содержание

Введение 3

Основные понятия и определения 4

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7

§1. Свойства НОД и НОК_ 7

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15

Библиографический список 19

Введение

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R⁺ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S

R⁺, обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*)

(a<b

);

(**)

(0<a<b

).

Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

3)

и ÆÎt.

Тогда

называется топологическим пространством, t – топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть

– топологическое пространство и . Введем на множестве Х₁ топологию t₁. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U– произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t₁ – топологией, индуцированной топологией t на множество Х₁.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве

называется базой топологииt, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R⁺ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например,

R⁺Ç (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х₁ называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х₁.

Очевидно, Х₁ плотно в Х, если каждая точка подпространства Х₁ является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.

Определение 8. Множество Х₁ в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е.

.

Определение 11. Элемент b

S называется делителем элемента а

S, если

для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит ( | ).

Определение 12. Общий делитель элементов

и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД

.

Определение 13. Элемент

S называется кратным элементу

S, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов

и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК

.

Определение 15. Полугруппа Sназывается НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из Sимеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент

из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17. Элемент

из S называется простым, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) áS, ×ñ– полугруппа;

2) S – топологическое пространство;

3) полугрупповая операция × непрерывна в S:

.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

§1. Свойства НОД и НОК

Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.