Следовательно, числа
N 
из

образуют плотное подмножество в [0,1]. Если
S 
, то получаем случай 5. Если же
S

, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.
Предложение 5.Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:
1. S = R+.
2. S = {rn | nÎN}

,
где 
.
3. S={rn| n
Z} 
,
где 
.
4. S\{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,

).
5. S – нульмерное плотное подпространство в R+.
6. S={0,1}.
7.

È[1,+¥).
Доказательство. Пусть

связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем
S=R+.
Очевидно,

является полугруппой со свойством (**).
Пусть далее

несвязно и

. Тогда

нульмерно по предложению 2.
Пусть

замкнуто и

Æ. Если в

нет элемента, большего 1, то

. Пусть

(1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в

. Допустим, что это не так. Тогда в

существует строго убывающая

последовательность, сходящаяся к 1. Так как

замкнуто и несвязно, то в

[1,+¥) есть такие элементы

, что

. В то же время строго убывающая последовательность

элементов из

сходится к числу

, следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал

. Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в

. Обозначим

. Тогда

и поскольку

замкнуто, то

. Возьмем произвольный элемент

из

. Для него

при некотором
N. По свойству (**) получаем

и

. Поскольку

, то

. В этом случае
N 
.
Пусть

замкнуто и

Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим

и

. Тогда

,

. Так как

замкнуто, то

. Из свойства (**) следует, что

. Из неравенства

по доказанному выше получаем:

для некоторого натурального
N. Поскольку

, то

. В этом случае
Z 
.
Пусть

не замкнуто и

Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел

, сходящаяся к некоторому

. Пусть

, если последовательность элементов

убывает, и

, если она возрастает. Тогда

для всех
Nи

при

. Возьмем произвольное число

. Для каждого
N найдется такое
N, что

. Тогда имеем

и

.
Следовательно, числа
N 
из

образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).
Если

не замкнуто и

Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что
S – плотное подпространство в
R+.Следствие 1.Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:
1. S = R+.
2. S – нульмерное плотное подпространство в R+.
3. S={0,1}.
1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.
2. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.