Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (стр. 5 из 6)

С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.

Предложение 3.Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:

1. S связно.

2. S нульмерно, замкнуто в R⁺и 0 – предельная точка для S.

3. S нульмерно, не замкнуто в R⁺и 0 – предельная точка для S.

4. Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы

, которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS, множество при этом может быть как замкнутым в R⁺, так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел

со свойствами (*) и (**)

В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих свойств:

(*)

(a<b

);

(**)

(0<a<b

).

Лемма 8.Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b} для любых a,b

S, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}, если числа

и

не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента

имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = и S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа Sобладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9.Если в полугруппе S со свойством (*) существует элемент c >1, то S&bsol; {0} – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acⁿ > 1 для некоторого n

N. Тогда 1 / acⁿ S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acⁿ) cⁿ S.

Предложение 4.Любая полугруппа S со свойством (*) относится к одному из следующих классов:

1. S = [0,1].

2. S = R⁺.

3. S = {rⁿ | n = 0,1,2,…}

, где 0 < .

4. S = {rⁿ | n

Z}

, где0 < .

5. S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. S – нульмерное плотное подпространство в R⁺.

7. S={0,1}.

Доказательство. Если

связно, S=

или S=R⁺ по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+

) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R⁺). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е_n), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d, что (c,d) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (e_n,d) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N. По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S

имеем 0,1,2,…

, а в противном случае Z

по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0

а_n S, сходящаяся к некоторому а S. Пусть b_n = a_n / a_n+1, если (a_n) возрастает, и b_n = a_n+1 / a_n, если она убывает. Тогда b_n S ( N) и b_n 1 при . Возьмем произвольное число с (0,1). Для каждого N найдется такое k(n) N, что . Тогда имеем и .