Лемма 4.Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:
1) (0,с)
S для любого 
,
2) если
, то и
для любого 
.
Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ.Предположим, что (0,c)
S для некоторого

. Не теряя общности, будем считать, что

. Так как
S несвязно, то по лемме 2 существует
s 
[0, 1]\
S. Возьмем в
S ненулевой элемент

и положим
b=
as
S. Пусть
d=НОД(
a,b). Поскольку 0<
s<1, то
sn 
0 при
n

. Тогда
sN<
cдля некоторого натурального
N, и, значит,
sN
S. По свойству 8, пункт (3),
НОД(
a/d, b/d)=1. Поскольку
b/d:
a/d=
s
S, то элемент
a/dнеобратим в
S. Очевидно, необратимым является и (
a/d)
N. По свойству 11, пункт (5), имеем
НОД((
a/d)
N, (
b/d)
N)=1. Из (
b/d)
N:((
a/d)
N=
sN
S следует, что
НОД((
a/d)
N, (
b/d)
N)=(
a/d)
N. Значит, элемент (
a/d)
N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0,
с)
S для любого

.
2) Если

, то заключение справедливо. Пусть

и

. Тогда по лемме 3 существует
s

. Предположим, что

для некоторого
с >1. Возьмем в
S элемент

и положим
b=
as
S. Поскольку
s>1, то
sn 
+¥ при
n

. Следовательно,
sN>
cдля некоторого натурального
N, и, значит,
sN
S. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем:

для любого
.Предложение 2.Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и
, то S нульмерно.Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале

, где

, есть точки, не принадлежащие
S. Доказывая от противного, предположим, что [
a,
b]
S для некоторых

. Возможны два случая.
Случай 1. Пусть 0<a<

. Докажем, что найдется
n0
N, для которого
a
b 
. В самом деле, допуская, что
b
<a 
для всех
n
N и, переходя в неравенстве
b
<a к пределу при
n

, получили бы
b
a<b. Откуда
b
>a 
для всех натуральных
n>n0. Тогда

что невозможно по лемме 4.
Случай 2. Пусть

. Возьмем такое число
с >
a, чтобы 1<
c<
b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем
c
b 
для некоторого
n0
N. Тогда

что также невозможно по лемме 4.
Докажем, что Sнульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и

. Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в
S множество
U, что

. Поскольку топология в
S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа
a и
b 
, что

. Если

, то это и есть открыто-замкнутое множество
U. Пусть левее
s в интервале

нет точек множества
S, а правее – есть, и точка
с - одна из них. По доказанному выше существует точка

, такая, что

. В этом случае

– искомое открыто-замкнутое множество
U. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки
s в интервале

есть точки множества
S, а правее нет, и случай, когда интервал

содержит точки из
Sи справа и слева от
s. Предложение доказано.