Доказательство. Если хотя бы одно из чисел

или

равно 0, то

и равенство справедливо. Пусть элементы

и

ненулевые и

. Поскольку

- общее кратное чисел

и

, то

для некоторого

. Так как

и

, то

- общий делитель

и

. Докажем, что

делится на любой общий делитель элементов

и

. Пусть

- произвольный общий делитель чисел

и

, т.е.

и

для некоторых

. Поскольку

- общее кратное элементов

и

, то

. Так как

, то

для некоторого

. Отсюда

. Следовательно,

, и, значит,
НОД(

).
Предложение 1. Полугруппа
является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда
есть НОД-полугруппа. Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть

есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные

. Если хотя бы одно из чисел

равно 0, то

. Рассмотрим случай

и

. Обозначим

. Тогда

и

для некоторых

. Поскольку

по свойству 7, то

. Положим

. Число

является общим кратным элементов

и

. Осталось показать, что на

делится любое общее кратное

и

. Возьмем произвольное общее кратное

элементов

и

, т. е.

для некоторых

. Тогда

, т.е.

(поскольку

). По свойству 11 имеем

, значит,

для некоторого

. Поэтому

, т.е.

.
Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R+и мультипликативную полугруппуS
R+, содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой. Лемма 1. Если S связно, то S=
или S=R+. Доказательство. Пусть S связное множество в R+. Тогда S является промежутком. Поскольку

и

, то

. Если в
S нет элемента c > 1, то

. В противном случае числа

(
N) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то

для всех
N. Отсюда
R+.
Лемма 2. Если
несвязно, то 
.
Доказательство. Предположим, что
.Тогда в силу несвязности 
существуют такие числа

, что

и

. Так как

, то

. Тогда

. Полученное противоречие завершает доказательство.
Лемма 3. Если

,
то
или 
=
R+.
Доказательство. Очевидно,

- полугруппа. Пусть

и

. Тогда существует элемент

. Докажем, что

. Возьмем произвольное

. Пусть натуральное
N таково, что

. Тогда из

следует

. Отсюда

. Лемма доказана.