Плоские кривые (стр. 7 из 9)

Найдём пересечение этих множеств.

I. Построим эллипс

но т. к. неравенство строгое, то точки эллипса не принадлежат искомой области, т.е. неравенство (2) задаёт внутренние точки эллипса.

Устанавливаем, что R = 3,

(0< k <1), Cтроим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем эллипс.

II. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого строим прямую

и штрихуем определяемую область.

III. Аналогичные рассуждения для построения области, заданной неравенством у + 2 > 0.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, и 3-м неравенствами.

Найдём пересечение этих множеств.

I.

– эллипс, точки которого не принадлежат искомой области (неравенство строгое), т.е. неравенство задаёт внешние точки эллипса. Приведём уравнение к каноническому виду

Строим осевой прямоугольник со сторонами a иb, изображаем эллипс.

II. Строим множество точек, заданных неравенством (2). Для этого изображаем прямую у = 3 и штрихуем определяемую область.

III. Рассуждаем аналогично.

Построение.

Занятие №4–5

Тема: Гипербола

Учащиеся хорошо знакомы с гиперболой как с графиком функции

и с такими понятиями, как её ветви и асимптоты. Гипербола не только является центрально-симметричной линией (как график нечётной функции), но и имеет две оси симметрии – это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. 19).

Рассмотрим уравнение x² – y² = lи покажем, что линия, задаваемая им – это тоже гипербола. Перепишем уравнение в виде (x – y) (x + y) = l. Введём новые переменные:

тогда в системе (u, v) исходное уравнение примет вид uv = l, и это будет гипербола, расположение ветвей которой полностью определяется знаком числа l.

Для изображения гиперболы выясним, как расположены оси системы координат (u, v) в координатной плоскости (х, у), считая, что u – абсцисса и v – ордината в новой системе координат. Ось абсцисс – это множество точек, для которых v = 0, т.е.

в исходной системе координат, или в исходной системе координат, или . Это биссектриса чётных координат углов. Аналогично, . Это биссектриса нечётных координатных углов. Для выяснения направлений на осях рассмотрим на оси Ou точку А (рис. 20), которая в системе координат (х, у) имеет координаты (1, -1). Тогда для этой точки u = 1 – (– 1) = 2 > 0, т.е. она лежит на положительной полуоси Оu. Аналогично, рассматривая на оси Ov точку В (1; – 1), получим, что для неё , и, значит, она расположена на положительной полуоси Ov.

Это позволяет сделать вывод о том, что преобразование

переводит систему координат (х, у) в систему (u, v), оси которой повёрнуты пол отношению к исходной на угол .

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Уравнение при этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильно уравнению

ибо равенство означало бы , и, значит, В зависимости от знака числа l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующих координатных четвертях системы , тем самым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением в системе координат .

При этом, подставляя в исходное уравнение

или в зависимости от знака l, мы получим точки пересечения гиперболы с той или иной координатной осью. Эти точки называются вершинами гиперболы (рис. 21).

Если к гиперболе

провести касательные в её вершинах (Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной её точке является биссектрисой внутреннего угла М₀ треугольника F₁M₀F₂, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точку М₀, см. рис. 27), то они пересекут асимптоты гиперболы в точках, которые будут вершинами квадрата (это следует из соображений симметрии). Удобно этот квадрат назвать осевым квадратом гиперболы (рис. 23). Центр этого квадрата совпадает с центром симметрии гиперболы, её диагонали – это её асимптоты, а сторона равна .

Рис. 22, 23

Если произвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k¹1, то гипербола преобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболе говорят, что она неравнобокая. Исходную же гиперболу называют равнобокой. Прн сжатии осевой квадрат преобразуется в осевой прямоугольник, а диагонали квадрата – в диагонали прямоугольника (они будут асимптотами для получающейся неравнобокой гиперболы). Уравнение неравнобокой гиперболы имеет вид:

, где k²¹1.

Рис. 24

Таким образом, уравнение

(k¹ 0, l¹ 0) всегда задаёт гиперболу. Она равнобокая, если k = 1 и неравнобокая, если k = -1. Её вершины лежат на оси Ох, если l > 0, и на оси Оу, если l < 0. Для её изображения нужно сначала построить осевой прямоугольник, его диагонали и вершины гиперболы (рис. 24).

Преобразуем уравнение

. Разделим обе его части на l:

(1)

Если l> 0, то уравнение примет вид (1), а если

l < 0 –

(2).

Сделаем замену

, , тогда получим уравнение гиперболы в общем виде

(3) (4).

Уравнения (3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданные этими уравнениями, называются сопряжёнными, а и b – стороны осевого прямоугольника. Если a= b– осевого квадрата.

Для закрепления решим несколько задач. [17]

1) Построить графики.

а)

I способ.

Это уравнение равносильно уравнению

. Поскольку l< 0, то вершины гиперболы расположены на оси Оу. Гипербола неравнобокая, т. к. . Строим осевой прямоугольник со сторонами и , где , . Чертим график гиперболы.