Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій (стр. 2 из 4)

(2.2)

Підставивши замість коефіцієнтів

і їх вирази, перепишемо ряд у вигляді

або

(2.3)

Дістанемо граничну форму цього розвинення при

. Оскільки функція абсолютна інтегрована на всій числовій осі, то при граничному переході при перший доданок у правій частині (2.3) прямує до нуля

(2.4)

Позначимо

та перепишемо (2.4) як

(2.5)

При

інтеграл можна замінити інтегралом

, а суму

можна вважати за інтегральну суму для інтеграла

Таким чином, з рівності (2.5) дістаємо

(2.6)

Рівність (2.6) називається інтегральною формулою Фур’є, а інтеграл у її правій частині - інтегралом Фур’є. Зображення функції

у вигляді інтеграла Фур’є звичайно називають розкладанням цієї функції в інтеграл Фур’є.

Зауваження 1. Формула (2.6) має сенс тільки для точок неперервності функції

, а у кожній точці розриву першого роду, як і для рядів Фур’ є, інтеграл Фур’є збігається до числа

.

Формулу (2.6) приводимо до вигляду, що є збіжним з рядом Фур’ є:

(2.7) де

(2.8)

Рівність (2.7) аналогічна розвиненню функції в тригонометричний ряд Фур’є, а вираз (2.8) - формулам для коефіцієнтів Фур’ є. І, таким чином, (2.7) можна трактувати як розкладання неперіодичної функції, визначеної на всій числовій осі на суму гармонічних складових частоти

, які неперервно заповнюють дійсну піввісь

Зауваження 2. Якщо функція

- парна, то та інтеграл Фур’є для такої функції має вигляд

(2.9)

У випадку непарної функції

інтеграл Фур’є набуває вигляду

(2.10)

Приклад 1. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію

Дана функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’є. За формулами (2.8) і (2.7)

у точках розриву

і інтеграл збігається до числа

Приклад 2. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію

Функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’ є, до того ж вона парна, а відтак

Якщо

, то

і

Функція

у точці має усувний розрив (що не впливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції інтегралом Фур’є можна записати у вигляді

.

2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є

Перетворимо за допомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду

(2.11)

де позначено

Тоді

(2.12)

Для

дістаємо вираз

(2.13)

Звідси

(2.14)

Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при

, бо . Тому із формули (2.7) випливає

(2.15)

Отже, в точках неперервності функції

(2.16) де

(2.17)

Вираз для

у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фур’є для функції .

Зауваження. Множник

можна записати у будь - яку з формул (2.16) чи (2.17): у вираз для , як у формулі (2.17), або у формулі (2.16), як це у подальшому буде зроблено для формул перетворення Фур’ є відповідно до стандартів електротехніки.

Приклад. Побудувати розклад (2.17) для функції

,

Розв‘язок

Тут

. Проінтегруємо по проміжку , відповідно (2.2) при отримаємо

Оскільки

, тоді

.

Розклад (2.18), де

запишеться як:

2.3 Інтегральне перетворення Фур’є

При дотриманні певних умов у ряд Фур'є розкладається періодична функція, задана на всій дійсній осі, або функція, визначена на кінцевому інтервалі. Розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на необмеженому інтервалі, нездійсненно. Однак ідея подання функції нескінченним набором гармонік у декілька зміненій формі реалізована і в цьому випадку. Засобом досягнення мети служить інтеграл Фур'є [3], [4], [5].