Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 8 из 9)
где
= 
, 
= 
, 
=1.Второе уравнение системы заменяется на:
+ 
+…+ 
= 
, 
=( , ,…, ),где
= 
, = 
, 
= 
-( 
, 
) , 
= 
-( , ) .Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:
+ 
+…+ 
= 
, 
=( , ,…, ),где
= 
, = 
, 
= 
-( 
, ) -( , ) -…-( , 
) 
, 
= 
-( , ) -( , ) -…-( , ) 
.Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.
В результате мы придем к новой системе С
= 
, где матрица С будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством С*С 
= E, где Е – это единичная матрица.(Таким образом, решение системы можно записать в виде
= С .)12 Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:
Y
(x) = AY(x) + F(x). (1)Разложим Y(x) в ряд Маклорена по степеням x:
Y(x)=Y
+ Y 
x + Y 
x 
/2! + …, где Y =Y(0), Y = Y (0), … (2).Из (1) почленным дифференцированием при А=const и F(x)=0 получим:
Y
= AY = A Y, Y 
= A Y = A 
Y, (3)Положив в (3) x=0 и подставив в (2) получим:
Y(x) = Y
+ Ax Y + A x /2! Y + … = e 
Y , (4)где e
= E + Ax + A x /2! + …, где Е – единичная матрица. (5)Если принять x=x
, то (4) заменится наY(x) = e
Y(x ), (6)