Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 5 из 9)
Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:
N ∙ Y(0) = n ,
где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.
Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:
∙ Y(1) = 
.Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:
∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = , ∙ K(1←0) ∙Y(0) = - ∙ Y*(1←0), ∙ K(1←0) ∙Y(0) = 
, ∙ K(1←0) ∙Y(0) = 
.Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу:
Y(0) =
∙ 
и подставим в предыдущую формулу:
∙ K(1←0) ∙ ∙ = .Таким образом, мы получили систему уравнений вида:
В ∙
= ,где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.
Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:
∙ = ,откуда можем записать, что
В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,
B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.
Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m = B12
∙ (s – B11∙ u).А искомый вектор n вычисляется через вектор t:
t = B21 ∙ u + B22 ∙ m,
n = t + N ∙ Y*(1←0).
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.
Запишем приведенную выше формулу
∙ K(1←0) ∙ ∙ = в виде:
∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = .Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:
[
∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } = [ матрица ] ∙ { вектор } = вектор
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[
∙ K(1←x2) ] 
{ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } = 
Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.
Далее запишем:
[[
∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)] { K(x1←0) ∙ ∙ } = [ матрица ] { вектор } = вектор
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[
∙ K(1←x2) ] K(x2←x1)] { K(x1←0) ∙ 
} = 
.И так далее.
В результате поочередного ортонормирования получим:
В
∙ = , ∙ = .Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m = B12
∙ (s 
– B11 ∙ u).7 Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Эта формула обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.
Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.
редположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.
Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:
Y(x) = Y
(x) c + Y 
(x) c + Y 
(x) c + Y 
(x) c + Y*(x),или можно записать в матричном виде:
Y(x) = Y
(x) ∙ c + Y*(x),где векторы Y
(x), Y (x), Y (x), Y (x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.