Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 2 из 9)

Y*(x

- x ) = e ∙ F(t) dt ,

Y*(x

- x ) = e ∙ F(t) dt ,

Y*(x

- x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt ,

Y*(x←x

) = e ∙ e ∙ F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Y*(x

←x ) = Y*(x - x ) = K(x - x ) ∙ K(x - t) ∙ F(t) dt =

= K(x

- x ) ∙ (E + A(x - t) + A (x - t) /2! + … ) ∙ F(t) dt =

= K(x

- x ) ∙ (E F(t) dt + A∙ (x - t) ∙ F(t) dt + A /2! ∙ (x - t) ∙ F(t) dt + … ) .

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x

- x ) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x )=constи тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x ←x ) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.

4 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.

Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y(x) = K(x←x

) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) .

Или можно записать:

Y(0) = K(0←x

) ∙ Y(x ) + Y*(0←x ) .

Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U∙Y(0) = u,

U∙[ K(0←x

) ∙ Y(x ) + Y*(0←x ) ] = u,

[ U∙ K(0←x

) ] ∙ Y(x ) = u - U∙Y*(0←x ) .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x

:

U

∙ Y(x ) = u ,

где U

= [ U∙ K(0←x ) ] и u = u - U∙Y*(0←x ) .

Далее запишем аналогично

Y(x

) = K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x )

И подставим это выражение для Y(x

) в перенесенные краевые условия точки x

U

∙ Y(x ) = u ,

U

∙ [ K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) ] = u ,

[ U

∙ K(x ←x ) ] ∙ Y(x ) = u - U ∙ Y*(x ←x ) ,