Методы предварительных эквивалентных преобразований и итерационные методы с минимизацией невязки для решения СЛАУ (стр. 1 из 3)

Реферат «Введение в численные методы»

Тема: «Методы предварительных эквивалентных преобразований и итерационные методы с минимизацией невязки для решения СЛАУ»

1.Методы предварительных эквивалентных преобразований

1.1Преобразование вращения

Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.

Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и / или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.

Матрица S называется унитарной, если ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица равна обратной матрице:

Известной унитарной матрицей является матрица вращения,которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор

поворачивается на угол путем умножения на матрицу

Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на

и слева на . Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.

Поворот вектора в многомерном пространстве на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол. Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.

Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера

следующим образом:

.

Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости

на угол .

Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол

записываются так:

.

Условие превращения в нуль ij-тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:

.

.

Угол поворота, при котором

, находится из уравнения

.

Разделив на

и обозначив , , получим квадратное уравнение для тангенса требуемого угла поворота

.

Из двух решений для тангенса выбирается такое, чтобы

. В этом случае . Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований получаются следующие формулы:

Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i-той и j-той строчках и на i-том и j-том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла

в соответствии с формулами, где j>i:

преобразования строк –

;

преобразование столбцов –

.

На пересечениях i-й строки и i-того столбца и j-й строки и j-того столбца располагаются соответственно вычисленные выше

и , а на местах ij-того и ji-того элементов вставляются нули.

Для приведения к диагональной матрице необходимо выполнить

таких элементарных преобразований.

1.2Ортогональные преобразования отражением

Следующей важной унитарной матрицей, с помощью которой в различных алгоритмах выполняются ортогональные преобразования, являются матрицы отражения. Использование этого инструмента позволяет, например, последовательными эквивалентными преобразова-ниями свести исходную матрицу к верхней треугольной (QR-алгоритмы), трех или двух диагональным и т.д.

Смысл этого подхода состоит в том, чтобы умножением матрицы A слева на специально подобранную унитарную матрицу

один из столбцов исходной матрицы (например, ) преобразовать в вектор, параллельный единичному координатному вектору ( или ). Тогда, последовательно подбирая нужные унитарные матрицы и соответствующие единичные векторы , после n циклов эквивалентных преобразований можно будет получить верхнюю треугольную матрицу:

При выборе в качестве начального вектора

и умножениях матрицы A на ортогональные матрицы справа в конечном счете можно получить нижнюю треугольную матрицу.

Весь вопрос состоит в том, как формировать унитарную матрицу с заданными свойствами из векторов

и столбцов матрицы A.

Из аналитической геометрии известно, что любые векторы, лежащие в плоскости, взаимно перпендикулярны с ее нормалью, т.е. их проекции на нормаль равны нулю. Последнее эквивалентно равенству нулю скалярных произведений.

Чтобы (k+1) – мерный векторный треугольник

сделать параллельным k-мерной гиперплоскости с нормалью n (вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости), необходимо приравнять нулю скалярное произведение: (n, y)=0.

Пусть вектор z не параллелен плоскости, заданной своей нормалью, тогда его проекции на эту плоскость и нормаль соответственно будут представлены векторами

и . Вектор z и вектор зеркально-симметричный ему через эти проекции можно выразить так:

Разрешив первое относительно

и подставив его в , получим

Проекцию вектора

можно заменить скалярным произведением (n, z) и подставить в выражение для , выразив тем самым зеркально отраженный вектор через исходный вектор и нормаль гиперплоскости:

Здесь M представляет унитарную матрицу, преобразующую произвольный вектор в зеркально отраженный. В том, что матрица унитарная, нетрудно убедиться, проверив ее произведение со своей комплексно сопряженной: