Методы предварительных эквивалентных преобразований и итерационные методы с минимизацией невязки для решения СЛАУ (стр. 3 из 3)

Относительно метода сопряженных градиентов доказывается, что, если матрица (положительно определенная и симметричная) имеет только m (m<n) различных собственных значений, то итерационный процесс сходится не более, чем за m итераций. Однако в практической реализации скорость сходимости существенно зависит от величины меры обусловленности

и в итерационном процессе может быть оценена согласно неравенству:

,

где

– коэффициент, степень которого на каждом шаге итерационного процесса показывает во сколько раз уменьшилось расстояние до вектора точного решения x*.

Чем больше

, тем ближе a к единице и, следовательно, степени a уменьшаются медленнее. В литературе описываются модифицированные методы сопряженных градиентов, которые тем или иным способом включают в итерационный процесс подобные (конгруэнтные – для комплексных матриц) преобразования, предварительно уменьшающие меру обусловленности.

Литература

1. Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

2. Волков Е.А. Численные методы. Изд-во ЛАНЬ, 2004. – 256.

3. Демидович Б.П., ред., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Издательство ЛАНЬ, 2008.

4. Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.

5. Пирумов У.Г., Пирумов О.Г. Численные методы. Изд-во: ДРОФА, 2004. – 224c.