Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений (стр. 3 из 3)
где Е — модуль упругости; — коэффициент вязкости.
Принимая в дополнение к закону (3.25) гипотезу плоских сечений, придем к дифференциальным зависимостям для поперечных движений стержня [9]
Здесь х, i — осевая координата и время m, EJ — погонная масса и изгибная жесткость стержня; w (ху t)9 Q (х, t)9 М (х, t) — текущие значения прогибов, перерезывающих сил и изгибающих моментов.
Пусть призматический консольный стержень (см. рис. 2.2) нагружен на свободном конце сосредоточенной возмущающей силой Р = Р (t) и имеет в момент времени t = 0 начальные отклонения от оси 8 = б (х). В этом случае краевая задача для системы дифференциальных уравнений (3.26) при обозначениях ' () = = d/dt, (У = д/дх имеет вид
Рассматривая два геометрически подобных объекта — модель 1 и натуру 2, введем масштабы для основных параметров системы физических уравнений (3.27):
Уравнения (3.27) для модели и натуры различаются лишь индексами 1, 2 у всех постоянных и переменных величин. Рассматривая эти уравнения для натуры 2 и выполняя в них масштабные преобразования основных параметров в соответствии с формулами (3.28), придем ic видоизмененной краевой задаче в форме
Уравнения (3.29) представляют собой результат подобных преобразований равенств (3.27), записанных для натуры. Из условий инвариантности физических уравнений для двух механически подобных объектов — модели 1 и натуры 2 имеем четыре независимых индикатора подобия:
Индикаторы подобия (3.30) представляют собой уравнения связи между масштабами или просто уравнения связи. Выше было показано (§ 3.2), что они эквивалентны условиям подобия физических явлений.
Для практических целей уравнения связи удобно представить в форме отношений масштабов
Роль краевых условий при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений особенно наглядно видна из рассмотрения соотношений (3.31). Оба подчеркнутых дважды уравнения связи являются здесь существенными условиями подобия и моделирования, которые нельзя получить из основного дифференциального уравнения движения без привлечения начальных и краевых условий.
С помощью уравнений связи по заданным характеристикам одного образца (модели) можно получить характеристики другого образца (натуры) простым пересчетом.
В данном примере четыре уравнения связи содержат восемь неизвестных масштабов, поэтому четыре масштаба могут быть выбраны произвольно.
Будем считать произвольными (свободными) масштабы Е09ц0, /0, w0. Задавая свободный масштаб для поперечных прогибов в долях геометрического масштаба w0 — kl0(k — произвольное число), найдем остальные (зависимые) масштабы из уравнений связи (3.31):
В отличие от уравнений связи (3.31), полученных путем подобных преобразований физических уравнений, метод анализа раз* мерностей в нашем случае приводит к пяти критериям подобия (я = 8, г = 3, k = п—г т 5), из которых следуют несколько другие уравнения для выбора масштабов моделирования:
В соотношениях (3.32) условие w0 = 10является жестким требованием анализа размерностей. При моделировании вынужденных колебаний стержня на основе масштабных преобразований уравнений краевой задачи (3.27) это условие существенно ослаблено равенством wQ= kl09которое позволяет расширить практические возможности выбора масштабов. При k = 1 условия моделирования для обоих методов теории подобия совпадают.
Уравнения (3.31) с учетом выражений для масштабов основных параметров (3.28) позволяют связать между собой характеристики подобных объектов в форме условий моделирования:
Условия инвариантности независимых безразмерных комплексов (3.33) для соответственных точек модели и натуры могут быть записаны также в виде
Уравнения (3.34) формально правильны. Однако они неудобны для представления результатов моделирования вынужденных колебаний стержня в критериальной форме, так как в них нет четкого разделения безразмерных отношений Щ (k = 1, 2, 3, 4) на определяющие и определяемые критерии подобия. Этот недостаток может быть устранен путем тождественных преобразований безразмерных комплексов (§ 1.6).В результате указанных преобразований имеем
Если влияние внутреннего трения на процесс колебаний Пренебрежимо мало, безразмерный комплекс Е\х21т в уравнении (3.35) может быть отброшен.
С другой стороны, пренебрежение начальными смещениями в уравнении (3.35) оказывается невозможным (б~>0: П1* -∞, П4*- ∞), так как учет влияния параметра б положен в основу условий единственности решения системы уравнений (3.27). Более гибким в этом смысле оказывается метод анализа размерностей, который приводит с помощью (3.32) к критериальному уравнению большей степени общности
Уравнение (3.36) допускает предельные переходы как для случая малых значений критерия Е\л2/т, так и при малых относительных начальных отклонениях б//.
Правила моделирования механических явлений и процессов на основе анализа физических уравнений и классического подхода к выбору геометрических свойств модели и натуры непосредственно следуют из теорем подобия (§ 3.2) и могут быть сформулированы в виде следующих положений.
1. Модель 1 и натурный объект 2 должны удовлетворять требованиям геометрического подобия.
2. Процессы, происходящие в модели и натуре, должны принадлежать к одному классу и описываться одинаковыми уравнениями.
3. Одноименные независимые безразмерные параметры, входящие в уравнения модели и натуры, должны иметь одинаковые численные значения.
4. Начальные и граничные условия объектов 1 и 2, записанные в безразмерном виде, должны тождественно совпадать.
Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы явления, происходящие в модели, были подобны явлениям в натурном объекте [100].