Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений (стр. 2 из 3)
С этой целью рассмотрим возможные варианты преобразований (3.13) при различном выборе масштабов kj.
Если множители kj выбираются произвольными без каких бы то ни было ограничений, уравнениям (3.12) и (3.14) можно одновременно удовлетворить при условии
Согласно этому условию функция (3.12) должна обладать таким особым свойством, когда подобное преобразование отдельных переменных Qj приводит к подобному преобразованию функции F в целом. Зависимости вида (3.12), удовлетворяющие условиям (3.15), принадлежат к так называемым гомогенным (однородным) функциям г.
Таким образом, при произвольных масштабах kj свойствами инвариантности к подобным или, как часто говорят, к масштабным преобразованиям обладают лишь гомогенные функции F.
В работе 131] показано, что условия (3.15) ограничивают зависимости (3.12) классом степенных комплексов
Ввиду того, что ограничение (3.15) является чрезмерно жестким, а функции (3.16) не являются настолько универсальными, чтобы описать любой механический процесс, рассмотрим вопрос об инвариантности уравнения (3.12) по отношению к подобным преобразованиям (3.13) в видоизмененной постановке. Для этого откажемся от предположения о произвольности множителей kj и будем искать такие ограничения на выбор масштабов в формулах (3.13), которые обеспечивают сохранение вида функции F при выполнении преобразований подобия.
Не останавливаясь на доказательстве, укажем, что для сохранения свойства инвариантности уравнения (3.12) к группе подобных преобразований (3.13) необходимо потребовать выполнения
В качестве примера составления условий инвариантности (3.17) для конечных (алгебраических) уравнений рассмотрим элементарный пример о нагружении консольной балки сосредоточенной силой и моментом.
Пусть два геометрически подобных бруса 1 и 2 прямоугольного поперечного сечения имеют размеры /, b, h (рис. 3.2). Параметры образцов 1 и 2 будем снабжать соответствующими нижними индексами.
Каждый из образцов находится под действием сосредоточенных сил Р и моментов Муприложенных в сходственных точках 2?! и В2с координатами хг — ll9 уг= 0, гг = О и х2= /2, Уъ = О, 2а = 0.
Аналогом уравнений (3.12) для рассматриваемого примера является решение задачи сопротивления материалов о напряженно-деформированном состоянии бруса для произвольной точки Аг в форме [84]
Одноименные уравнения в формулах (3.19) и (3.20) обладают важным свойством. В том случае, если масштабы kj (10, <у0> Щ* Ео> 8о> Л» М0) не являются произвольными, а выбраны из условий (3.21), указанные уравнения для образцов 1 и 2 будут одинаковыми.
Таким образом, выполнение условий (3.21) обеспечивает инвариантность уравнений (3.18) по отношению к подобным преобразованиям (3.19). Согласно методу исследования подобия, основанному на масштабных преобразованиях физических уравнений в конечной форме, две геометрически подобные системы считаются механически подобными, если уравнения, описывающие эти системы, тождественно совпадают.
Можно показать, что в общем случае условия (3.17), обеспечивающие инвариантность физических уравнений, могут быть преобразованы в критерии подобия механических состояний или процессов, описываемых уравнениями (3.12) [311.
дикаторы подобия в различной математической форме выражают одни и те же условия механического подобия двух объектов — модели и натуры.
Перейдем к изучению подобных преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы и переменные под знаком интеграла. Особенности анализа подобия явлений, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, связаны с масштабными преобразованиями указанных операторов.
Учитывая эту аналогию между индикаторами подобия дифференциальных и алгебраических выражений, следует заключить, что при образовании индикаторов подобия для операторов дифференциальных уравнений знаки дифференциалов можно опустить, рассматривая дифференциалы как конечные приращения переменных.
В процессе подобных преобразований интегральных уравнений следует исходить из осредненных физических величин. Например, в сходственных точках объектов «6> и «s» одноименные величины относятся как (Qj)t/(Qj)s = kj. Это соотношение остается справедливым и для величин, осредненных по площади /.
Полученное равенство kj = kj подтверждает возможность составления индикаторов подобия для интегральных операторов из осредненных величин таким же путем, как они находятся для локальных значений переменных.
Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования в физических уравнениях не изменяют условий подобия механических состояний и процессов [76].
В качестве примера масштабных, преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы, рассмотрим уравнения краевой задачи об изгибе консольной балки (см/, рис, 3.2) для объекта 1 [84]:
Решение системы дифференциальных уравнений (3.22) в форме конечных соотношений (3.18) было использовано выше для примера подобных преобразований алгебраических уравнений.
Введем масштабы для всех переменных и постоянных величин, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия (3.22):
Заменяя все физические величины в уравнениях изгиба балки объекта 2 через переменные с индексом 1 по формулам (3.23) и учитывая правила масштабных преобразований дифференциальных операторов, получим при 10 Ф О, о0Ф О, Р0 Ф О
Результаты масштабных преобразований краевой задачи для дифференциальных уравнений (3.22) и для интеграла этих же уравнений (3.18) в алгебраической форме подтверждают вывод о независимости условий механического подобия от операторов дифференцирования в физических уравнениях.
В заключение обсуждения вопросов подобия механических систем на основе масштабных преобразований физических уравнений сформулируем три основные теоремы подобия [37].
Теорема I. В подобных явлениях критерии подобия имеют одинаковые численные значения.
Теорема II. Все конечные и дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические процессы, могут быть преобразованы в уравнения, выражающие однозначную связь между критериями подобия.
Теорема III. Необходимые и достаточные условия подобия явлений заключаются в равенстве численных значений определяющих критериев подобия. Равенство численных значений остальных критериев является следствием существования подобия.
§ 3. О моделировании задач с начальными и граничными условиями
Дифференциальные уравнения механики элементов конструкций устанавливают взаимную связь между пространственными и временными изменениями физических переменных изучаемого явления. Эти уравнения описывают в пределах элементарного объема все без исключения явления данного класса, независимо от геометрической конфигурации объекта и характера его взаимодействия с окружающей средой.
Для того чтобы выделить из целого класса единичное явление, необходимо присоединить к дифференциальным уравнениям определенные условия, которые позволили бы рассматривать конкретный случай поведения объекта. Эти условия определяются:
1) распределением в пространстве существенных для процесса параметров системы для начального момента времени;
2) характером взаимодействия системы с окружающими объектами и внешней средой для каждого момента времени.
Условия 1 и 2 представляют собой соответственно начальные и граничные (или краевые) условия.
Система дифференциальных уравнений вместе с начальными и граничными условиями дает полную математическую формулировку поставленной задачи как для натурного объекта, так и для его модели.
Если дифференциальные уравнения совместно с начальными и краевыми условиями приведены к безразмерному виду, задание численных значений безразмерных начальных и краевых условий совместно с определяющими критериями подобия (§ 2.1) выделяет из всего класса механических состояний или процессов уже не единичное явление, а группу подобных явлений [101 ].
Таким образом, существенным элементом при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений g целью последующего моделирования механических состояний или процессов являются преобразования подобия начальных и краевых условий совместно с преобразованиями самих дифференциальных уравнений.
Рассмотрим особенности моделирования в задачах с начальными и граничными условиями на примере вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом внутреннего трения в материале.
Для учета внутреннего трения в качестве уравнения состояния материала воспользуемся моделью упруговязкого тела Фойгта [86]. В этом случае напряжение а и деформация е в продольных волокнах стержня связаны зависимостью