Теория вероятности (стр. 2 из 2)

Разделим на 3:

Учитывая условие х₁ < х₂, получаем, что подходит только 1 вариант.

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 4

Задача № 3

Условие

Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:

если 0 < x <1,при других х

Найти постоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание М_x и дисперсию D_x случайной величины x.

Решение:

Свойство плотности распределения:

,

Получаем, что С = 3.

,

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Ответ: С = 3, М = ¾, D = 3/80

Задача № 4.

Условие:

Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 56 и среднеквадратичным отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна Р = 0,95

Решение:

Поскольку, по условию задачи, случайная величина x имеет нормальное распределение, а также известна вероятность Р = 0,95, то является возможным использование правила трех сигм, а именно данной его части:

Подставив имеющиеся по условию задачи данные, получим следующий интервал, симметричный относительно математического ожидания:

.

Ответ:

.

Задача № 5.

Условие:

Известно распределение системы двух дискретных величин (x, h).

xh	1	2	3	4
0	0,16	0,12	0,14	0,08
1	0,08	0,10	0,09	0,08
2	0,06	0,04	0,03	0,02

Определить частные, условные (при x = 1, h = 0) распределения и числовые характеристики системы случайных величин m_x, D_x, m_h, D_h, K_x,h, r_x,h; а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область

.

Решение:

Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в столбцах:

Р (x = 1) = Р (x = 1, h = 0) + Р (x = 1, h = 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0,06 = 0,3

Р (x = 2) = Р (x = 2, h = 0) + Р (x = 2, h = 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0,04 = 0,26

Р (x = 3) = Р (x = 3, h = 0) + Р (x = 3, h = 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0,03 = 0,26

Р (x = 4) = Р (x = 4, h = 0) + Р (x = 4, h = 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0,02 = 0,18

Частное распределение для h получается суммированием вероятностей в строках:

Р (h = 0) = Р (h = 0, x = 1) + Р (h = 0, x = 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h = 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5

Р (h = 1) = Р (h = 1, x = 1) + Р (h = 1, x = 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h = 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35

Р (h = 2) = Р (h = 2, x = 1) + Р (h = 2, x = 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h = 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15

Полученные данные можно представить в виде таблицы:

xh	1	2	3	4
0	0,16	0,12	0,14	0,08	0,5
1	0,08	0,10	0,09	0,08	0,35
3	0,06	0,04	0,03	0,02	0,15
0,3	0,26	0,26	0,18

Вычислим математическое ожидание m_x:

Вычислим математическое ожидание m_h:

Вычислим дисперсию D_x:

Вычислим дисперсию D_h:

Условное распределение x/h=0:

x	1	2	3	4

Условное распределение h/x=1:

x	0	1	3

Вычислим ковариацию K_x,h:

Вычислим коэффициент корреляции r_x,h:

Вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область:

- эллипс.

xh	1	2	3	4
0	0,16	0,12	0,14	0,08
1	0,08	0,10	0,09	0,08
2	0,06	0,04	0,03	0,02

К необходимому условию подходят только точки (1; 0) и (2;)

Ответ: m_x= 2,32, D_x= 1,1776, m_h = 0,80, D_h =1,06, K_x,h = - 0,056, r_x,h = - 0,0501.

Вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область:

= 0,028 (2,8%).