Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова (стр. 6 из 8)

В точности этот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей». В качестве искомого значения вероятности неравенства

Лаплас указал величину 0.994303.

В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен перевод его статьи 1733 г. Согласно словам самого автора «Я помещаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся». В кратком введении Муавр отметил, что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения и что вычисления становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний. В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы. Эта задача была им благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникала, состояла в оценке факториала

при больших значениях . Муавр доказал, что , где , однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Стирлинг показал, что . Известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел, таким образом, следовало бы назвать формулой Муавра. Использовав найденную им формулу «Стирлинга», Муавр первоначально выяснил, что в случае средний член бинома асимптотически равен , а затем доказал локальную теорему, названную его именем. Далее Муавр получил локальную теорему для случая фактически в принятом теперь виде.

Имея в руках локальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную, правда, только для симметричных границ.

Муавр отметил, что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности

, т.е. для решения обратной задачи, задачи математической статистики.

11. Контроль качества продукции

В связи с переходом промышленности на массовое изготовление изделий, резко увеличился интерес к проверке качества изделий, входящих в принимаемую партию. Появилась глубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теория статистических методов приемочного контроля, основанная на широком использовании теории вероятностей.

Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсоном в книге «Природа и законы случая» (1740 г.). Имеется данное число вещей различного сорта

вещей первого, второго и т.д. Наудачу дерутся вещей. Найти вероятность того, что при этом будет взято вещей первого сорта, второго и т.д.

Спустя сто с небольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М.В. Остроградский (1801–1862) в работе «Об одном вопросе, касающемся вероятностей» (1846). Он вычислил необходимые для практического применения таблицы. Приведем подлинные слова Остроградского. «В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количество шаров, подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд. Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов. Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами, о которых идет речь.

Чтобы понять важность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получить большое число предметов, причем должны выполняться некоторые условия, и кто, чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некоторое время. Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи. Для них шары, содержащиеся в сосуде, представляют получаемые предметы, белые, например предметы приемлемые, как удовлетворяющие определенным условиям, а черные неприемлемые.

Таким образом, если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бы воспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную механическую работу, как, например, проверку большого количества мешков муки или штук сукна».

Общее число шаров в урне известно, но неизвестен ее состав. Его и следует оценить при выборке, взятой из урны наудачу. Для этой цели Остроградский использует формулы Байеса.

Статистические методы приемочного контроля получили особенно бурное развитие в годы Второй мировой войны, поскольку было необходимо принимать огромные партии однородной продукции, а проверять ее сплошь не было возможностей по ряду причин. Нет возможности здесь перечислить даже основные этапы развития теории статистических методов приемочного контроля. Большое число исследователей работали над различными проблемами этой тематики и внесли в ее развитие крупный вклад. Из отечественных ученых заслуживают быть отмеченными А.Н. Колмогоров, В.И. Романовский, С.Х. Сираждинов, Ю.К. Беляев и др.

12. Развитие теории ошибок наблюдений

Уже упоминалось, что Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел в рассмотрение ряд важных понятий, которые сохранили значение и в наши дни.

Позднее под влиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес к ошибкам измерений значительно возрос. Знаменитый астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546–1601) обратил внимание на то, что каждое отдельное измерение несет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое.

Казалось бы, от И. Кеплера (1571–1630), сделавшего так много для формирования законов движения планет, следовало ожидать повышенного внимания к методам обработки результатов наблюдений. Но эти вопросы фактически остались в стороне от его интересов, и он заметил только то, что хороший наблюдатель производит измерения с ошибками ограниченной величины.

Первые попытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р. Котсу (1682–1716), Т. Симпсону (1710–1761) и Д. Бернулли (1700–1782).

Позднее теория ошибок измерений привлекла внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей. Она оказала серьезное влияние на постановку задач и разработку методов математической статистики.

13. Формирование понятия случайной величины

Ведение понятия случайной величины связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.

Начиная с Котса, Симпсона и Н. Бернулли в 18-ом веке начала развиваться теория ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ упомянутых ученых. Он же ввел в обиход термин «случайная» и «систематическая ошибка» измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдения. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению. Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей.

Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел число появлений интересующего его события в

независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной: числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше, он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия случайной величины.

Первоначально считалось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью. Затем постепенно от этого предположения отказались и стали представлять себе, что возможные значения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернулли в отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенные вольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения уже было все в порядке. Это была неотрицательная функция, интеграл которой по всей прямой равен 1, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых. В книге «Аналитическая теория вероятностей» Лаплас умело оперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, но нигде не вводит понятия случайной величины. Он либо использует язык теории ошибок измерений, либо язык математического анализа и не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностей.