Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова (стр. 5 из 8)

О вероятности совместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее «…надо обозначить одно из них как первое, другое как второе и т.д. Тогда вероятность появления первого должна рассматриваться как независимая от остальных, вторая – в предположении, что первое произошло, третье – в предположении наступления первого и второго и т.д. Следовательно, вероятность наступления всех событий равна произведению всех только что указанных вероятностей». Муавр отметил, что разыскание условных вероятностей, как правило, представляет собой сложное занятие.

Формулировка теоремы умножения у Байеса такая же, как у Муавра. Единственно, в чем Байес пошел дальше Муавра это в формулировке следствия о вычислении вероятности

по вероятностям и . Это предложение дало основание приписывать Байесу формулы, носящие его имя. В действительности у него их нет, поскольку он не знал формулы полной вероятности.

Результат, приписываемый Байесу, по-видимому, впервые получил современную формулировку у Лапласа в его «Опыте философии теории вероятностей». В главе «Общие принципы теории вероятностей» он сформулировал принцип, который относится к вероятности гипотез, или, как писал Лаплас, вероятности причин, словесно сформулировал известное «правило Байеса». Более того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности.

Таким образом, основные принципы действия с вероятностями вычленялись длительным путем. Их многократно использовали при решении отдельных задач, но не формулировали их в качестве особых предложений. Потребовалось почти целое столетие, чтобы после введения в науку понятия вероятности сформулировать для этого понятия систему правил действия с ним. Такие правила широко использовались фактически, но потребности в их формулировании не ощущали. Попутно при этом вводились и дополнительные понятия, которые позволяли глубже вникать в природу вещей. В нашем случае этими понятиями являются понятия несовместимости и независимости случайных событий.

9. Задача о разорении игрока

Серьезную роль в развитии теории вероятностей играла задача о разорении игрока, она позволяла оттачивать методы решения сложных вопросов и в какой-то мере являлась исходным пунктом для развития теории случайных процессов. Именно в этой задаче впервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени. Точнее положение игроков после заданного числа партий. Эта задача была впервые сформулирована в Гюйгенсом в книге «О расчетах в азартных играх». Этой задачей занимались многие выдающиеся математики Я. Бернулли, Н. Бернулли, Муавр, Лаплас и др.

Первые подходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложены тремя математиками Монмором, Муавром и Н. Бернулли. Их результаты относились к 1710–1711 г. Задача Гюйгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки

и имеют соответственно и франков и при каждой партии некоторой игры один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока для каждой партии равна , для игрока вероятность выигрыша равна . Спрашивается, чему равны вероятности и того, что игрок выиграет (соответственно игрок ) игру (т.е. игрок выиграет все деньги раньше, чем выиграет их у ).

Муавр нашел, что

, .

И что математическое ожидание числа

необходимых для завершения игры партий равно .

Ему же удалось найти вероятности

, что игрок выиграет игру за партий (соответственно выиграет за партий игрок ). Вдобавок им был подробно рассмотрен случай, когда .

В 1710 г. формулы для

в случае нашел Монмор. Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли, который передал письмо своему племяннику Николаю. Ответное письмо Н. Бернулли от 26 февраля 1711 г. содержало решение и для случая .

Рассмотрение решений этих ученых ясно показывает, что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложных событий. Практически они безукоризненно точно использовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору они еще не получили точной формулировки. Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постоянно необходимы при подсчете вероятностей сложных событий.

10. Возникновение предельных теорем теории вероятностей

На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. В первую очередь следует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке, так и в последующие столетия.

Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде, использовал для обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый», «фертильный», а для противоположных исходов слово «стерильный».

«Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как

или же это число относится к числу всех случаев как или же как . Последнее отношение находится, следовательно, между и . Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем , и меньше, чем ». Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь.

Книга «Искусство предложений» Я. Бернулли быта тщательно изучена его племянником Н. Бернулли. В его работе «О применении искусства предположений в вопросах прав», исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. На основании долголетних регистраций рождений он отметил тот факт, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным 18:17.

Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14 000 рождений. Тогда, согласно формулам Н. Бернулли, имеет место равенство (

означает фактическое число рождений мальчиков)

Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислить вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны.