Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова (стр. 2 из 8)

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.

Ферма предложил следующее решение этой задачи:

Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершения игры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены в виде таблицы:

ПАРТИИ
1234	АААААААВААВАААВВ	АВААВААВВААААВАВ	АВВАВАВАВВАА	ВВВАВВАВВАВВАВВВВВВВ
ИГРА ВЫИГРАНАИГРОКОМ	А после двух партий	А после четырех партий	А после трех партий	В после трех или четырех партий

В первых одиннадцати исходах выигрывает А, в последних пяти В. Таким образом, ставка между игроками должна быть разделена в отношении 11/5. Т.е. игрок А получит 11/16, а В получит 5/16 ставки. Очевидно, что Ферма, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Однако, они и сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.

Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат об арифметическом треугольнике», внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате есть параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку

до выигрыша всей игры не хватает

Партий, а игроку

партий, тогда ставка должна делиться между игроками в следующем отношении:

4. Работа Х. Гюйгенса

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказала работа Х. Гюйгенса (1629–1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в 1655 г., где он познакомился с рядом видных ученых и услышал от них сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх, которые разрабатывались Паскалем и Ферма. Результатом явилась его работа, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ван Схоутена «Математические этюды».

Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения.

Предложение 1. Если я имею равные шансы получить

или , то это мне стоит .

Предложение 2. Если я имею равные шансы получить

или , то это мне стоит столько же, как если бы я имел .

Предложение 3. Если число случаев, в которых получается сумма

, равно , а число случаев, в которых получается сумма , равно , то стоимость моего ожидания равна .

Ясно, что этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. В первых двух предложениях значения, принимаемые случайными величинами, равновероятны, а в третьем предложении вероятность значения

равна и вероятность значения равна . Понятие вероятности у Гюйгенса еще не выделено, и он все время оперирует числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс говорил о стоимости, за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша. Термин «ожидание» был введен в употребление Схоутеном при переводе.

Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное, как версию задачи о разделе ставки.

«Предположим, что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что я уже выиграл 2 партии, а он 1. Я хочу знать, какая часть ставки причитается мне, когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки… Нужно заметить сначала, что достаточно принять во внимание число партий недостающих той и другой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20 партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такое же самое преимущество, как и в изложенном случае, где при трех партиях я выиграл две, а он только одну, а это потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии, а ему двух. Затем, чтобы вычислить часть, причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру. Верно и то, что выиграв партию, я получил бы полностью сумму ставки, которую обозначу

. Но если первую партию выиграет мой противник, то наши шансы станут равными, принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии; значит, каждый из нас имел бы право на , что согласно первому предложению, эквивалентно сумме половин, т.е. , так что моему сопернику остается ».

Предложения 4–9 работы Гюйгенса посвящены решению задач, связанных с безобидным делением ставки. Например, в предложении 8 рассмотрено деление ставки между тремя игроками, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему по две. Предложения 10–14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей. В конце работы помещены 5 задач без решений, которые Гюйгенс предложил читателю для самостоятельных размышлений.

К концу 17 века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайных событиях, точно поставленных задач и подходов к их решению. Многие выдающиеся умы занимались этими вопросами и с разных позиций подходили к количественной оценки возможности наступления случайного события. Ферма фактически пользовался понятием математического ожидания, использование которого для решения разнообразных задач было широко развито Гюйгенсом; Паскаль, Ферма и Гюйгенс использовали представления о теоремах сложения и умножения вероятностей, и подошли вплотную к понятию вероятности, однако его они не ввели. Если бы исследователи того времени задали себе вопрос, что возможнее при четырехкратном бросании кости хотя бы раз выбросить шестерку или при двадцатипятикратном бросании двух костей хотя бы раз выбросить на обеих костях шестерки, они были бы вынуждены ввести классическое понятие вероятности и далее его использовать. Однако этого в 17 веке не произошло и введение в науку классического понятия вероятностей принадлежит лишь 18 столетию. Период предыстории завершался и начинался период истории теории вероятностей. Для этого уже был создан достаточно прочный фундамент.

5. Первые исследования по демографии

Одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунта (1620–1675) и Вильяма Петти (1623–1687) по демографии. Их работы наглядно продемонстрировали, каким мощным орудием могут служить для изучения массовых явлений статистические наблюдения, если их соответствующим образом обработать. Первой работой, с которой начинается история статистики как области научного знания, следует назвать книгу Граунта, опубликованную в 1662 г. под названием «Естественные и политические наблюдения, перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над бюллетенями смертности. По отношению к управлению, религии, торговле, росту, воздуху, болезням и разным изменениям означенного города».

Основная задача, которая интересовала Граунта, состояла в указании метода, который позволял бы установить с достаточной точностью возрастной состав населения города в результате наблюдений за возрастом умерших. С этой целью им были проанализированы 229 250 регистраций смертей в Лондоне происшедших за 20 лет. Среди этих смертей было отмечено 71 124 смерти детей от 0 до 6 лет. Причины смертей были тщательно перечислены Граунтом. Он специально отметил, что отношение числа смертей детей от 0 до 6 лет к общему числу смертей за тот же период времени, равное 71 124/229 250, приблизительно равняется 1/3. Иными словами, Граунт ввел представление о частоте события. Для развития теории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль, как и его замечание: «…мы бы хотели отметить, что некоторые из случайностей имеют постоянное отношение к числу всех похорон». Здесь Граунт вплотную подошел к представлению о статистической устойчивости средних. Им была составлена первая таблица смертности.