Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 5 из 17)
Для облегчения процесса понимания термина «вероятность случайного события», мы прибегаем к механической интерпретации. Установление соответствия
интерпретируется как распределение по элементам 
множества W некоторым разумным способом единичной массы: в каждом мы “помещаем” массу равную 
. Вероятность случайного события A теперь понимается как доля единичной массы, оказавшейся над подмножеством А множества W.Слова «некоторым разумным способом устанавливаем соответствие
» своей неопределенностью вносят дополнительные трудности в понятие термина «введение вероятностной функции» и нуждаются в пояснениях. Эти пояснения даются путем рассмотрения трёх моделей, трёх конкретных типов испытаний, в которых это соответствие устанавливается вполне естественным, разумным способом.Классическая модель, основанная на понятии «испытаний с равновозможными элементарными исходами», позволяет установить соответствие так:
.Биномиальная модель, основанная на понятии «серии повторных независимых испытаний», позволяет установить соответствие так:
.Геометрическая модель, основанная на понятии «последовательность повторных независимых испытаний до первого положительного исхода», позволяет установить соответствие так:
.Перед рассмотрением биномиальной модели сначала вводится понятие «случайного события B наступившего при условии, что экспериментатору известно, что событие A уже произошло» и формулируется определение условной вероятности 
. Затем рассматривается вероятность произведения событий и формулируется одно из фундаментальных определений теории – определение независимости событий.
Свойства вероятностной функции, а так же формулы полной вероятности и Байеса являются теоремами и следствиями, вытекающими из аксиоматического введения вероятностной функции P, и позволяют решать на практических занятиях довольно широкий круг задач.
Модуль 2. Построение общей вероятностной модели
Аксиоматика А.Н. Колмогорова.
Цель модуля: Узнать принцип построения общей вероятностной модели на основе аксиом А.Н. Колмогорова. Ознакомиться с правилами построения алгебры борелевских множеств и типами вероятностных функций, задаваемых на измеримых пространствах.
Вероятностная функция Pлюбому случайному событию A, являющемуся элементом алгебры A, ставит в соответствие число
, 
. Кратко это записывается так: P:A 
. Это число 
называется «вероятностью наступления случайного события A» и оно понимается как значение меры возможности наступления, осуществления события A при однократном проведении испытания, опыта. Чем больше это число , тем больше у испытателя уверенность в возможности наступления, осуществления события A при проведении испытания и, наоборот, чем меньше это число , тем меньше у него уверенность в возможности его наступления, осуществления.Но ранее функция Pвводилась посредством предварительного, аксиоматического установления соответствия
. Это соответствие всегда можно было установить, так как в рассматриваемых моделях элементарные исходы представлялись в виде конечной или бесконечной последовательности 
или 
. То есть, мы могли вводить функцию P, если множество W было конечным или счётным и мы могли мысленно представить себе каждый элементарный исход.Но есть большое количество примеров описания испытаний, в которых элементарные исходы нельзя представить в виде конечной или бесконечной последовательности. Например, выбор наудачу точки из отрезка
; определение времени горения электрической лампы; измерение высоты растения пшеницы; взвешивание зерен одного колоса пшеницы.Такие множества, все элементы которых нельзя представить в виде конечной или бесконечной последовательности, называются множествами мощности континуум.
Сохранив основные понятия и определения, сделанные при рассмотрении примеров, определяющих множества конечной или счетной мощности, и расширив определение алгебры на случай рассмотрения счетных последовательностей событий до определения s-алгебры, мы, следуя А.Н. Колмогорову, вероятностную функцию P определяем как числовую функцию определенную на элементах s-алгебры A. Но, если раньше нормированность и аддитивность вероятностной функции P вытекали автоматически из ее определения по набору положительных чисел
то теперь, при построении общей вероятностной модели, нормированность и s-аддитивность функции Pтребуется аксиоматически. То есть, всякая функция, определенная на s-алгебре случайных событий, принимающая числовые значения и обладающая свойствами нормированности и s-аддитивности, является вероятностной функцией.Рассматривая свойства вероятностной функции, приходим к выводу, что вместо s-аддитивности аксиоматически можно требовать или «непрерывность сверху», или «непрерывность снизу», или «непрерывность в нуле». (Аналогично тому, как при изучении геометрии, основывающуюся на аксиомах Евклида, вместо пятой аксиомы параллельности можно принять аксиому о том, что сумма углов треугольника равна p.)
Тройку объектов <W,A,P>называется вероятностным пространством. Для того чтобы показать как практически реализуется процесс построения вероятностного пространства по Колмогорову, рассматриваются такие испытания, элементарными исходами которых будут действительные числа (или – точки вещественной оси).
Однако, если мы будем в качестве алгебры событий, то есть в качестве области определения вероятностной функции P брать s-алгебру всех подмножеств множества действительных чисел, то получится очень необозримая алгебра множеств, на которой будет невозможно задать числовую функцию. Поэтому в качестве алгебры случайных событий предлагается взять алгебру борелевских множеств. Так как мы знаем как строится, конструируется из простейших множеств – полуинтервалов любое борелевское множество, то тогда, исходя из определения функции P на полуинтервалах, можно будет определить вероятностную функцию на всей s-алгебре борелевских множеств действительных чисел.
Приступая к практическому рассмотрению возможных типов и конкретных примеров вероятностных функций, в качестве множества элементарных исходов Wрассматриваются множества двух типов.
I тип. W - множества вещественных чисел, имеющие не более чем счетную мощность и лебегову меру равную нулю, то есть çWç= n или a и 
(W)=0.
II тип. W - множества вещественных чисел, имеющие мощность континуум и положительную лебегову меру, то есть çWç= c и (W)>0.
Соответственно этим двум типам множеств элементарных исходов определяются два типа вероятностных функций.
Функция P называется вероятностной функцией дискретного типа, если область её определения есть множество первого типа, а множеством ее возможных значений является не более чем счетное множество положительных чисел
таких что 
.