Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 3 из 17)

7. Может ли вероятностная функция быть линейной комбинацией двух вероятностных функций, одна из которых – дискретного, а другая - непрерывного типа?

8. Из «непрерывности снизу» вероятностной функции следует её «непрерывность в нуле». Можно ли утверждать, что из «непрерывности в нуле» следует «непрерывности снизу» вероятностной функции?

9. Вероятностная функция Pопределена на измеримом пространстве <

, B (

)>. Может ли первая частная вероятностная функция

быть дискретного типа, а вторая частная вероятностная функция быть непрерывного типа?

10. Произвольная функция

определена на интервале и принимает неотрицательные значения. Что нужно сделать, что бы её можно было назвать вероятностной функцией, определённой на интервале ?

Модуль 3. Случайные величины и векторы

1. Можно ли утверждать, что случайная величина есть случайный результат любого опыта?

2. Можно ли утверждать, что плотность вероятности

это любая функция, для которой справедливо ?

3. Как по заданной функции распределения

определить распределение вероятностей , где , случайной величины ?

4. Как по заданной функции распределения

определить плотность вероятности случайной величины ?

5. Как, зная плотность вероятности

двумерной случайной величины , определить частную функцию распределения второй компоненты ?

6. Какому требованию должны удовлетворять компоненты двумерной случайной величины

, чтобы было справедливо равенство ?

7. Может ли у двумерной случайной величины

одна компонента быть случайной величиной дискретного типа, а другая - случайной величиной непрерывного типа?

8. Рассматривается вероятностное пространство <W,A,P>, где P - вероятностная функция непрерывного типа. Можно ли на измеримом пространстве <W,A> определить случайную величину

, у которой функция распределения будет функцией распределения дискретного типа?

9. Всегда ли по частным функциям распределения компонент

и можно определить функцию распределения двумерной случайной величины ?

10. Как, зная функцию распределения случайного вектора

определить функцию распределения случайного вектора ?

Модуль 4. Числовые характеристики случайных величин и векторов

1. Почему, определяя математическое ожидание функции случайной величины

как значение несобственного интеграла , мы требуем, чтобы этот интеграл сходился абсолютно?

2. Если справедливо равенство

, то можно ли утверждать, что распределение вероятностей случайной величины будет симметрично относительно математического ожидания?

3. Случайная величина

имеет конечное математическое ожидание . Следует ли из этого, что у случайной величины существует конечная дисперсия ?

4. Случайная величина

имеет конечную дисперсию . Следует ли из этого, что у случайной величины существует конечное математическое ожидание ?

5. Используя свойства дисперсии, докажите что:

а)

, если случайные величины и - независимые;

б)

, где c – произвольная константа.

6. Используя определения начальных и центральных моментов двумерной случайной величины, запишите формулу дисперсии суммы двух произвольных случайных величин.

7. Если случайные величины

и - независимые, то ковариационный момент всегда равен нулю. Будет ли справедливо обратное утверждение: если ковариационный момент случайных величин и равен нулю, то случайные величины и - независимые?

8. Можно ли утверждать, что значение математического ожидания случайной величины - это наиболее вероятное значение случайной величины?

9. Всегда ли равенство нулю коэффициента линейной корреляции свидетельствует об отсутствии статистической связи между случайными величинами?

10. В ковариационной матрице n-мерного случайного вектора ненулевыми являются только элементы, стоящие на главной диагонали. Что можно сказать о компонентах этого вектора?

Модуль 5. Классическая предельная проблема теории вероятностей

1. Какой вид сходимости последовательности случайных величин сильнее: сходимость по распределению, или сходимость по вероятности?

2. Какое требование к последовательностям случайных величин предъявляется во всех теоремах классической предельной проблемы теории вероятностей?

3. Можно ли применять теорему Хинчина к последовательностям одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные дисперсии?

4. Покажите, что теорема Муавра-Лапласа является частным случаем теоремы Леви.

5. Последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин подчиняется ЦПТ. Можно ли утверждать, что эта последовательность подчиняется ЗБЧ?

6. Последовательность независимых разно распределённых случайных величин подчиняется ЗБЧ. Можно ли утверждать, что эта последовательность подчиняется ЦПТ?

7. Можно ли утверждать, что теорема Хинчина является частным случаем теоремы Чебышева?