Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 из 17)

Модуль 8.Статистическая проверка гипотез

Основные понятия: Гипотеза. Критерий проверки гипотезы. Уровень значимости гипотезы. Критическая область. Правило принятия решений. Оптимальный критерий проверки гипотезы.

Гипотезы основная и альтернативная. Критерий проверки гипотезы. Распределения вероятностей критерия проверки гипотезы. Области

и возможных значений критерия при справедливости основной гипотезы. Ошибки I и II рода при проверке гипотез. Оптимальный критерий. Три типа задач статистической проверки гипотез. Примеры построения критериев для статистической проверки гипотез. (6 часов)

Модуль 9.Корреляционный и регрессионный анализы

Основные понятия: Статистическая зависимость компонент случайного вектора. Сила и характер статистической зависимости компонент случайного вектора. Условные случайные величины. Условные законы распределения вероятностей и условные математические ожидания. Функция регрессии.

Корреляция и регрессия случайных величин. Две задачи, решаемые корреляционным анализом. Коэффициент линейной корреляции и его статистическая оценка. Проверка гипотезы о значимости коэффициента линейной корреляции. Условное математическое ожидание. Функция регрессии. Функция регрессии двумерного нормального закона. Определение статистических оценок коэффициентов функции регрессии. Остаточная дисперсия. Корреляционное отношение. (6 часов)

Распределение часов по видам учебной нагрузки

№	Модуль	Общеекол-вочасов	Лекции	Практ.занятия	Самост-наяработа
1	Вероятностноепространство с не более чем счётным множеством элементарных исходов	33	7	6	20
2	Общая вероятностная модель. Аксиоматика А.Н. Колмогорова	18	6	2	10
3	Случайные величиныи векторы	31	9	6	16
4	Числовые характеристики случайных величин и векторов	37	12	6	19
5	Классическая предельная проблема теории вероятностей	29	12	5	12
6	Первичная обработкастатистических данных. Точечные оценки числовых характеристик	18	8	4	6
7	Интервальные оценки числовых характеристик	10	4	2	4
8	Статистическая проверка гипотез	18	6	2	10
9	Корреляционный и регрессионный анализ	16	6	2	8
Всего	210	70	35	105

Рекомендуемая литература

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.

2. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1986.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1973.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1977.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

8. Драгилев М.М. Теория вероятностей. – М.: Вузовская книга, 2002.

9. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Машиностроение, 2002.

10.Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.

11.Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975.

12.Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М.: Наука, 1975.

13.Мешалкин Л.Ф. Сборник задач по теории вероятностей. - Издательство Московского университета, 1963.

14.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией Свешникова А.А. – М.:Наука, 1970.

15.Севастьянов Б.А., Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.; Наука, 1982.

16.Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков Ф.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1980.

17.Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Физматгиз, 1980.

18.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах - М.: Мир, 1984.

19.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1982.

20.Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980.

Практическая (аудиторная) часть

70 часов аудиторных занятий + 70 часов самостоятельной работы + 3 контрольных работы + 1 индивидуальное задание по математической статистике.

3 курс, шестой семестр. (36 часов)

1. Классическое определение вероятности. 4 часа

2. Вероятности сумм и произведений событий. 4 часа

3. Формула полной вероятности. 2 часа

4. Формула Байеса. 2 часа

5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. 2 часа

6. Контрольная работа №1. 2 часа

7. Геометрические вероятности. 4 часа

8. Дискретная случайная величина. Ряд распределения 4 часа

Функция распределения.

9. Числовые характеристики дискретной случайной величины. 4 часа

10. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности. 2 часа

Функция распределения.

11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 4 часа

12. Контрольная работа №2. 2 часа

4 курс, седьмой семестр. (34 часа)

1. Повторение. Дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. 4 часа

2. Нормальный закон. Функция Лапласа. 2 часа

3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и ее приложения. 4 часа 5.Закон больших чисел и Центральная предельная теорема. 4 часа

6.Функции случайных величин и их числовые характеристики. 4 часа

7.Контрольная работа №3. 2 часа

8. Первичная обработка статистических данных. 2 часа

9.Точечные оценки числовых характеристик случайных величин. 2 часа

10. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

2 часа

11. Статистическая проверка гипотез. Задачи I-го и II-го типов. 4 часа

12. Критерий согласия Пирсона. 2 часа

13. Корреляционный анализ. 4 часа

Литература:

1 А.А. Свешников Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Москва. “Наука”. 1970г.

2. А.И. Луценко Задачи по теории вероятностей. Часть I, УПЛ РГУ. 2005г.

3. А.И. Луценко Задачи по теории вероятностей. Часть II, УПЛ РГУ. 2001г.

4. В.Е. Ковальчук, А.И. Луценко Индивидуальные задания по математической статистике. УПЛ РГУ. 1998г.

III. Контрольные вопросы

Модуль 1. Вероятностное пространство с не более чем счётным множеством элементарных исходов

1. Могут ли два различных элементарных исхода одновременно произойти в результате проведения испытания.

2. Сколько элементов будет иметь алгебра событий, если множество элементарных исходов состоит из n элементов?

3. Запишите случайное событие, являющееся противоположным событием случайному событию

.

4. Запишите случайное событие, являющееся противоположным событием случайному событию

.

5. Вероятности наступления случайных событий

и равны и . Будут ли эти события несовместными?

6. Сколько элементов будет иметь алгебра событий, «порождаемая» случайными событиями AиB?

7. Повторные независимые испытания проводятся n раз. В результате каждого испытания может произойти только одно из трёх попарно несовместных событий A, B или C. Определите элементарный исход для таких испытаний. Сколько элементов будет иметь множество элементарных исходов?

8. Будут ли гипотезы, формулируемые при применении формулы полной вероятности, попарно независимыми событиями?

9. Может ли сумма всех послеопытных вероятностей гипотез, вычисленных по формуле Байеса, быть меньше единицы?

10. Проводятся одинаковые независимые испытания до тех пор, пока событие A не появится три раза. Сколько элементарных исходов будет благоприятствовать случайному событию: «Было проведено десять испытаний»?

Модуль 2. Общая вероятностная модель. Аксиоматика А.Н. Колмогорова

1. Удовлетворяет ли условию:

аддитивная числовая функция множеств для любых и , если ?

2. Будет ли всегда справедливо равенство

, если ?

3. Будет ли требование аддитивности числовой функции множеств аксиоматическим, если рассматриваются испытания, для которых множество элементарных исходов имеет не более чем счётное число элементов?

4. Может ли алгебра всех возможных событий быть множеством счётной мощности, если множество элементарных исходов имеет конечное число элементов?

5. Можно ли построить алгебру событий, имеющую счётное число элементов, если множество элементарных исходов – счётное?

6. Будут ли совпадать σ-алгебры борелевских множеств B₁(R) и B₂(R), если первая алгебра построена по элементам системы

, где и - любые действительные числа, а вторая алгебра построена по элементам системы , где и - любые рациональные числа?