Системи випадкових величин (стр. 2 из 5)

Розв’язування. За формулою (1.4) в якій

, , ,

Система двох неперервних випадкових величин

однозначно визначається густиною сумісного розподілу ймовірностей

. (1.5)

Приклад 1.3. Знайти густину сумісного розподілу системи випадкових величин

, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

Розв’язування. За формулою (1.5)

Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по кожному аргументу і тому

.

За відомою густиною сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна визначити за формулою

(1.6)

Приклад 1. Знайти інтегральну функцію сумісного розподілу системи випадкових величин

, якщо відома густина сумісного розподілу

.

Розв’язування. За формулою (1.6)

.

Враховуючи , що

(властивість 3), для густини сумісного розподілу можна записати рівність нормування

.

Ймовірність попадання випадкової точки

у довільну область (рис.1.3) обчислюється за формулою

,(1.7)

яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла

Приклад 1.5. Система випадкових величин

задана густиною сумісного розподілу

.

Знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник з вершинами

, , , .

Розв’язування. За формулою (1.7)

.

.

Функції

,(1.8a)

.(1.8b)

є інтегральними функціями розподілу компонент системи двох неперервних величин

.

Приклад 1.6. Система випадкових величин

задана густиною сумісного розподілу

.

Знайти інтегральні функції компонент.

Розв’язування. За формулою (1.8а)

.

За формулою (1.8б)

.

За відомою густиною сумісного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин можна обчислити густину розподілу кожної її компоненти:

(1.9a)

(1.9b)

Доведення. З означення густини розподілу компоненти

та з врахуванням (1.8a)

.

Аналогічно для другої компоненти:

Приклад 1.7. Двовимірний вектор

задан густиною сумісного розподілу

Знайти густини розподілів компонент X та Y.

Розв’язування. За формулою(1.9а) при

,

і при

. Отже,

За формулою(1.9b) при

,

і при

. Отже,

Дискретні випадкові двовимірні вектори однозначно визначаються також умовними розподілами компонент X,Y:

,

- умовна ймовірність події за умови того, що подія вже настала,

- умовна ймовірність події за умови, що подія вже настала.

За теоремою множення ймовірностей залежних подій

,(1.10а)

(

),

, (1.10b)

(

).

Приклад 1.8. Необхідно обчислити умовні розподіли компоненти X системи випадкових подій

із сумісним розподілом

y₁ y₂

при

.

Розв’язування. Імовірність події (

) за формулою (1.1b).

За формулою (1.10а)

,

,

.

Умовний розподіл компоненти X при

Імовірність події (

) за формулою (1.1b).

.

За формулою (1.10а)

,

,