Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания (стр. 7 из 9)
Среднее число занятых каналов
по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на 
: 
(26)Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди
, не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем: 
,а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями
, 
: 
.В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти к пределу при
(или, что то же, при 
), то при 
получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми». До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.
В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.
Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s, 
- интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:
ρ= 
.
Вероятность простоя системы определяется формулой
Р0= 
.
Финальные вероятности состояний системы:
Pk= 
при k<n, Pk= 
при 
.
Через эти вероятности выражается среднее число занятых каналов
=P1+2P2+…+n(Pn+Pn+1+…+Ps) или
=P1+2P2+…+(n-1)Pn-1+n(1-P0-P1-…-Pn-1).
Через 
находим абсолютную пропускную способность системы:
A= 
,
а также среднее число заявок в системе
М=s- 
=s- 
.
Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью 
=4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом tобсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?
Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле
ρ = 
/μ =4/2=2, n=3,
Р0= 
= 
= 
0,158.
Вероятность отказа определяем по формуле:
Ротк=Рn= 
= 
Pотк= 
0,21.
Относительная пропускная способность системы:
Робсл=1-Ротк 
1-0,21=0,79.
Абсолютная пропускная способность системы:
А= Робсл 3,16.
Среднее число занятых каналов определяем по формуле:
1,58, доля каналов, занятых обслуживанием, q= 
0,53.
Cреднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания: tСМО 
0,395 мин.
Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:
Р0= 
= 
=0,6,
вероятность отказа:
Ротк=ρ Р0= 
=0,4,
относительная пропускная способность:
Робсл=1-Ротк=0,6,
абсолютная пропускная способность:
А= Робсл=2,4.
Среднее время пребывания заявки в СМО:
tСМО=Робсл 
= 
=0,1 мин.
В результате объединения каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.
Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.
Для рассматриваемой системы n=3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
Р 
= 
.
P0= 
=1/9.
Среднее число заявок в очереди находим по формуле:
L=
.L= 
= 
.